Математическое моделирование

1.

Математическое
моделирование

2.

Определения
Математи́ческая моде́ль — математическое представление
реальности, один из вариантов модели как системы, исследование
которой позволяет получать информацию о некоторой другой
системе. Математическая модель, в частности, предназначена для
прогнозирования поведения реального объекта, но всегда
представляет собой ту или иную степень его идеализации.
Математи́ческим
моделированием
называют
как
саму
деятельность, так и совокупность принятых приёмов и техник
построения и изучения математических моделей.
Все естественные и общественные науки, использующие
математический аппарат, по сути, занимаются математическим
моделированием:
заменяют
объект
исследования
его
математической моделью и затем изучают последнюю.
Связь математической модели с реальностью осуществляется с помощью
цепочки эмпирических законов, гипотез, идеализаций и упрощений.

3.

Свойства модели

4.

Виды форм моделей
инвариантная — запись соотношений модели с помощью
традиционного математического языка безотносительно к методу
решения уравнений модели;
аналитическая — запись модели в виде результата аналитического
решения исходных уравнений модели;
алгоритмическая— запись соотношений модели и выбранного
численного метода решения в форме алгоритма;
схемная (графическая) — представление модели на некотором
графическом языке (например, язык графов, эквивалентные схемы,
диаграммы и т.п.);
физическая — представление моделей как уменьшенных копий
реальных аппаратов и технологических процессов;
аналоговая — модели, основанные на подобии явлений, имеющих
различную физическую природу, но описываемых одинаковыми
математическими уравнениями.

5.

Виды моделей
Линейные или нелинейные модели;
Сосредоточенные или распределённые системы;
Детерминированные или стохастические;
Статические или динамические;
Дискретные или непрерывные;
Структурные или функциональные.
Жёсткие и мягкие модели
* Структурные модели представляют объект как систему со своим
устройством и механизмом функционирования.
Функциональные модели не используют таких представлений и отражают
только внешне воспринимаемое поведение (функционирование)
объекта. В их предельном выражении они называются также
моделями «чёрного ящика».
Возможны также комбинированные типы моделей, которые иногда
называют моделями «серого ящика».

6.

Содержательная классификация моделей
Гипотезы («такое могло бы быть»), «представляют собой пробное описание
явления, причем автор либо верит в его возможность, либо считает даже его
истинным».
Феноменологическая модель («ведем себя так, как если бы…»), содержит
механизм для описания явления, хотя этот механизм недостаточно убедителен, не
может быть достаточно подтверждён имеющимися данными или плохо
согласуется с имеющимися теориями и накопленным знанием об объекте.
Поэтому феноменологические модели имеют статус вре́менных решений.
Считается, что ответ всё ещё неизвестен, и необходимо продолжить поиск
«истинных механизмов».
Приближения («что-то считаем очень большим или очень малым»). Если можно
построить уравнения, описывающие исследуемую систему, то это не значит, что
их можно решить даже с помощью компьютера.
Упрощение («опустим для ясности некоторые детали»), в такой отбрасываются
детали, которые могут заметно и не всегда контролируемо повлиять на результат.
Эвристическая модель («количественного подтверждения нет, но модель
способствует более глубокому проникновению в суть дела»), такая модель
сохраняет лишь качественное подобие реальности и даёт предсказания только
«по порядку величины».

7.

8.

Содержательная классификация моделей
Модель-аналогия («учтём только некоторые особенности»).
Мысленный эксперимент («главное состоит в опровержении возможности»).
Демонстрация
возможности
(«главное
—
показать
внутреннюю
непротиворечивость возможности»), такого рода модели тоже мысленные
эксперименты с воображаемыми сущностями, демонстрирующие, что
предполагаемое явление согласуется с базовыми принципами и внутренне
непротиворечиво.
Прямая задача: структура модели и все её параметры считаются известными,
главная задача — провести исследование модели для извлечения полезного знания
об объекте.
Обратная задача: известно множество возможных моделей, надо выбрать
конкретную модель на основании дополнительных данных об объекте. Чаще всего
структура модели известна, и необходимо определить некоторые неизвестные
параметры

9.

10.

Виды моделей
Имитационная модель — логико-математическое описание объекта, которое
может быть использовано для экспериментирования на компьютере в целях
проектирования, анализа и оценки функционирования объекта.
Статистическое моделирование — численный метод решения математических
задач, при котором искомые величины представляют вероятностными
характеристиками какого-либо случайного явления, это явление моделируется,
после чего нужные характеристики приближенно определяют путем
статистической обработки «наблюдений» модели
Метод Монте–Карло — общее название группы численных методов, основанных
на получении большого числа реализаций стохастического (случайного)
процесса, который формируется таким образом, чтобы его вероятностные
характеристики со- впадали с аналогичными величинами решаемой задачи.