Профильный ЕГЭ по математике. Задание 14

1.

Задание 14
Профильный ЕГЭ по математике
Санжиева Р.С., МАОУ СОШ №63

2.

Ответ: б)

3.

3. На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка E так,
что A1E : EA = 3 : 4. Точка T — середина ребра B1C1. Известно, что AB = 9, AD = 6 , AA1 = 14.
а) В каком отношении плоскость ETD1 делит ребро BB1?
б) Найдите угол между плоскостью ETD1 и плоскостью AA1B1.
z
у
х

4.

4. Задание 14
Дана правильная треугольная призма АВСА1В1С1, все рёбра которой равны 4.
Через точки A, С1 и середину T ребра А1В1 проведена плоскость.
а) Докажите, что сечение призмы указанной плоскостью является прямоугольным
треугольником.
б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью ABC.
z
у
х

5.

5. Задание 14
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона AB основания равна 12,
а высота призмы равна 2. На рёбрах B1C1 и AB отмечены точки P и Q
соответственно, причём PC1 = 3, а AQ = 4. Плоскость A1PQ пересекает ребро BC в точке M.
а) Докажите, что точка M является серединой ребра BC.
б) Найдите расстояние от точки B до плоскости A1PQ.
z
х
у

6.

9. Задание 14
Все рёбра правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 имеют длину 6.
Точки M и N— середины рёбер AA1 и A1C1 соответственно.
а) Докажите, что прямые BM и MN перпендикулярны.
б) Найдите угол между плоскостями BMN и ABB1.
z
Поместим призму в систему координат так, чтобы H(0;0;0),
N(0;0;6), B(3√3;0;0),M(0;3;3),A(0;3;0)
1) →BM(3√3;-3;-3), →MN(0;-3;3). Длина BM=√45, длина MN=3√2
2) Cos (BM;MN)= Скалярное произведение векторов/ произведение
длин этих векторов
x
y
Cos (BM;MN)=(3√3*0+(-3)*(-3)+(-3)*3)/√45*3√2=0, следовательно,
векторы перпендикулярны, прямые BM и MN перпендикулярны.