Взаимное расположение прямой и плоскости. Тема 4

1. §4 Взаимное расположение прямой и плоскости

2. П.1 Параллельность прямой и плоскости

3.

s
l
n

4. П.2 Перпендикулярность прямой и плоскости

5.

l
n
s

6. П.3 Пересечение прямой и плоскости

7.

n s
sin
n s
s
n
l

8.

Кривые второго
порядка

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16. Кривые второго порядка

• Кривой второго порядка называется
линия, уравнение которой в
декартовой системе координат имеет
вид
2
2
Ax 2 Bxy Cy 2 Dx 2 Ey F 0,

17.

где коэффициенты А,В,С одновременно
не обращаются в нуль.
При А = В = С = 0 уравнение задаёт
прямую, которая называется линией
первого порядка.
• К числу линий второго порядка
относятся окружность, эллипс,
гипербола и парабола.

18.

1. Окружность
Окружностью называется множество
точек плоскости, равноудаленных от
данной точки (называемой центром).

19.

20.

• Если центр окружности поместить в
начало координат, то каноническое
уравнение окружности радиусом R
имеет вид
2
2
2
x y R .

21.

• Если центр окружности находится в
точке C(x0, y0), то ее уравнение
записывается в виде
2
2
2
( x x0 ) ( y y 0 ) R .

22.

23. Пример. Найти центр и радиус окружности, определяемой уравнением

4 х 4 у 8 х 16 у 19 0
2
2

24. Решение.

4 х 4 у 8 х 16 у 19 0
2
2
(4 х 8х) (4 у 16 у) 19 0
2
2
4( х 2 х) 4( у 4 у) 19 0
2
2
2
| (a b) a 2ab b |
2
2
4( х 2 1 х 1 1)
2
4( у 2 2 у 4 4) 19 0
2

25.

4((x 1) 1) 4( y 2 4) 19 0
2
2
4(x 1) 4 4 y 2 16 19 0
2
2
4(x 1) 4 y 2 16 4 19
2
2
4(x 1) 4 y 2 1
1
2
2
(x 1) y 2
4
2
2

26.

27.

2.
Эллипс
Пусть на плоскости заданы две точки
F1 и F2, расстояние между которыми
равно 2с, и задано число a > c.

28.

29.

Основное геометрическое
свойство эллипса
• Эллипсом называется множество
точек плоскости, сумма расстояний
от которых до двух данных точек F1 F2
(фокусов) есть величина
постоянная, равная 2а

30.

y
M
F1
0
|F1 M| + |F2 M| =2a
F2
x

31.

32.

х с у х с у 2а
2
2
2
2
х с у 2а х с у
2
2
2
2
х с у 4а 4 а х с у х с у
2
2
2
2
2
2
а х с у а сх
2
2
2
х а с а у а а с
2
2
b a c
2
2
2
2
2
2
2
2
х b а у а b
2
2
2
2
2
2
2
2

33.

x
a
2
2
y
b
2
1
2

34.

35.

• Если систему координат выбрать так,
как указано на рис., то каноническое
уравнение эллипса запишется в виде
x
a
2
2
2
y
b
2
2
1
,
2
2
b a c ,
где а – большая, b – малая полуоси
эллипса (при a>b).

36. Исследование формы эллипса

1. Эксцентриситет эллипса
с
а
2. Директрисы эллипса
х
а

37.

38.

39. Пример. Построить кривую, заданную уравнением

4 х 9 у 16 х 18 у 11 0
2
2

40.

41.

3. Гипербола
Пусть на плоскости заданы две точки
F1 и F2, расстояние между которыми
равно 2с, и задано число a < c.

42.

43.

Основное геометрическое свойство
гиперболы
• Гиперболой называется множество
точек плоскости, модуль разности
расстояний от которых до двух данных
точек F1 и F2 (фокусов) есть величина
постоянная, равная 2а.

44.

y
F1
0
M
F2
x

45.

|F1 M| - |F2 M| =2a
Каноническое уравнение гиперболы
выводится аналогично, как у эллипса.
Выполнить самостоятельно.

46.

47.

• Если систему координат выбрать так,
как указано на рис., то каноническое
уравнение гиперболы запишется в
виде
2
2
x
a
2
2
2
y
b
1
,
2
2
b c a ,
где
• а – действительная, b – мнимая
полуоси гиперболы.

48.

• Гипербола состоит из двух ветвей и
расположена симметрично
относительно координатных осей. При
этом ее ветви при удалении в
бесконечность как угодно близко
подходят к прямым
b
y
a
x,
которые называются асимптотами
гиперболы.

49.

y
b
-а
0
-b
а
x

50.

• При построении гиперболы
1)вначале строят основной
прямоугольник со сторонами
x = ± a, y = ± b.
2) Затем через противоположные
вершины этого прямоугольника
проводят прямые, которые являются
асимптотами гиперболы.

51.

• Вершины гиперболы расположены в
точках с координатами (– а,0) и (а,0),
а фокусы – в точках F1(-c; 0) и F2(c; 0).

52.

• Уравнения
x
2
2
y
2
1
2
x
2
2
y
2
1
2
или
a
b
также задают гиперболу, сопряженную
с гиперболой x 2 y 2
1
2
2
a
b
Действительная и мнимая полуоси
этой гиперболы соответственно равны
b и а.
a
b

53.

54. Гипербола со смещенным центром

( x x0 ) ( y y0 )
1
2
2
a
b
2
2

55. Построить кривую, заданную уравнением

6 х 4 у 12 х 8 у 22 0
2
2

56.

57.

П.4 Парабола
• Пусть на плоскости задана точка F и
прямая D, расстояние между которыми
равно р.
• Параболой называется множество
точек плоскости, равноудаленных от
данной точки F (фокуса) и данной
прямой D (директрисы).

58.

у
M
N
x = -p/2
0
F(p/2; 0)
х

59.

60.

• Если систему координат выбрать так,
как указано на рис., то каноническое
уравнение параболы запишется в виде
2
y 2 px.

61.

• Если p < 0, то парабола направлена в
противоположную сторону.
2
x 2 py
• Уравнение
задаёт параболу, симметричную
относительно оси Оу.

62.

y
у2 = 2pх, р<0
0
у2 = 2pх, р>0
x

63.

y
0
х2 = 2qу, q>0
x
х2 = 2qу, q<0

64.

65.

• Эта парабола симметрична
относительно оси Ох. Директрисой
является прямая
p
x
2
,
p
точка F ,0 – фокус параболы,
2
р – параметр параболы.

66.

67.

• Для того, чтобы построить кривую
второго порядка, заданную общим
уравнением, уравнение кривой
приводят к каноническому виду и
переходят к новой системе координат.

68. Построить кривую, заданную уравнением

х
12
х
8
у
32
0
• Решение.
2
х 12 х 8 у 32
2
( х 2 6 х 36) 36 8 у 32
2

69.

( х 6) 36 8 у 32
2
( х 6) 8 у 32 36
2
( х 6) 8 у 4
2
1
( х 6) 8( у )
2
2

70.

у
0
1/2
6
х

71.

• Пример. Определить тип линии и
схематически построить её:
2
2
9 x 25 y 36 x 150 y 414 0

72.

• Решение. Приведем заданное
уравнение к каноническому виду. Для
этого в исходном уравнении выделим
полные квадраты по переменным х и
у. Перепишем исходное уравнение в
виде:

73.

9 x 36 x 25 y 150 y 414 0,
2
2
9( x 4 x) 25( y 6 y ) 414 0,
2
2

74.

9( x 2 2 x 2 2 )
2
2
2
25( y 2 3 y 3 3 ) 414 0,
2
2
2
9[( x 2) 4]
2
25[( y 3) 9] 414 0,
2

75.

9( x 2) 36
2
25( y 3) 225 414 0,
2
9( x 2) 25( y 3) 225,
2
2
( x 2) ( y 3)
1.
25
9
2
2

76.

• Совершим параллельный перенос
координатных осей по формулам:
X x 2,
Y y 3.
(2, 3) – координаты центра O1 системы
координат X и Y. В этой системе
координат уравнение принимает вид:
2
2
X
Y
1
25
9

77.

• Получили каноническое уравнение
гиперболы (действительная полуось а = 5,
мнимая полуось b =3)

78.

79. Кривые второго порядка

Окружность Эллипс Гипербола Парабола
Уравнение
2
2
2
2
х х0 у у0 R 2 x y 1 x y 1
a2 b2
a2 b2
у
Рисунок
х
Свойства
b2 a 2 c2
c
,0 1
a
2
2
у 2 2 px
x 2 2qy