Дифференциальные уравнения первого порядка

1.

2.

Задание 1
Дифференциальные уравнения первого порядка
2

3.

Задание 1
Дифференциальные уравнения первого порядка
1) Уравнения с разделяющимися переменными: y’ = f(x)g(y)
2) Уравнения, допускающие разделения переменных: y’ = f(аx+by+c)
3) Однородные уравнения: y’ = g(y/x)
4) Линейные уравнения: y’ + P(x)y = Q(x)
5) Уравнения Бернулли: y’ + P(x)y = Q(x)y^k
6) Уравнения в полных дифференциалах: P(x;y)dx + Q(x;y)dy = 0
3

4.

Задания 1-3
Дифференциальные уравнения первого порядка
1) Уравнения с разделяющимися переменными: y’ = f(x)g(y)
y’ = x + cos(x)
4

5.

Задания 1-3
Дифференциальные уравнения первого порядка
2) Уравнения, допускающие разделения переменных: y’ = f(аx+by+c)
После разделения переменных уравнение
y’ – sin(x+y) = sin(x-y)
примет вид:
5

6.

Задания 1-3
6

7.

Задания 1-3
Дифференциальные уравнения первого порядка
3) Однородные уравнения: y’ = g(y/x)
7

8.

Задания 1-3
Дифференциальные уравнения первого порядка
4) Линейные уравнения: y’ + P(x)y = Q(x)
4.1) Метод Лагранжа
8

9.

Задания 1-3
Дифференциальные уравнения первого порядка
4) Линейные уравнения: y’ + P(x)y = Q(x)
4.1) Метод Лагранжа
x*y’ – 3y=x^2
9

10.

Задания 1-3
Дифференциальные уравнения первого порядка
4) Линейные уравнения: y’ + P(x)y = Q(x)
4.2) Метод Бернулли:
10

11.

Задания 1-3
Дифференциальные уравнения первого порядка
4) Линейные уравнения: y’ + P(x)y = Q(x)
4.2) Метод Бернулли:
x*y’ = 3x^2+4y
11

12.

Задания 1-4
Дифференциальные уравнения первого порядка
5) Уравнения Бернулли: y’ + P(x)y = Q(x)y^k
12

13.

Задания 1-4
Дифференциальные уравнения первого порядка
6) Уравнения в полных дифференциалах: P(x;y)dx + Q(x;y)dy = 0
13

14.

Задание 5-6
Дифференциальные уравнения высших порядков
1) Уравнения вида: y^(n) = f(x)
2) Уравнения вида: F(x; y^(n-1); y^(n)) = 0
3) Уравнения вида: F(y; y’; y’’) = 0
14

15.

Задание 5
Дифференциальные уравнения высших порядков
2) Уравнения вида: F(x; y^(n-1); y^(n)) = 0
Решение понижением степени:
15

16.

Задание 5
Дифференциальные уравнения высших порядков
2) Уравнения вида: F(x; y^(n-1); y^(n)) = 0
16

17.

Задание 6
Дифференциальные уравнения высших порядков
2) Уравнения вида: F(y; y’; y’’) = 0
Найти частное решение уравнения
(y’’)^2 = y’ при y(0) = 2/3, y’(0) = 1
17

18.

Задание 7
Однородные уравнения высших порядков
Уравнения вида: F(y; y’; y’’) = 0
18

19.

Задание 7
Однородные уравнения высших порядков
Уравнения вида: F(y; y’; y’’) = 0
Характеристическое уравнение для ЛОУ имеет вид (k-1)^2(3k+4) = 0 , тогда ДУ:
19

20.

Задание 8
Однородные уравнения высших порядков
Уравнения вида: F(y; y’; y’’) = 0
Общение решение ЛОУ 3-порядка имеет вид ay’’’ + by’’ + cy’ + dy = 0 имеет вид
y = (C1+C2x+C3x^2)*e^(-2x)
Найти а, b, c, d
20

21.

Задание 9
Неоднородные уравнения высших порядков
Уравнения вида: ay’’ + by’ + cy = f(x)
Метод вариации произвольных постоянных
21

22.

Задание 9
Неоднородные уравнения высших порядков
Уравнения вида: ay’’ + by’ + cy = f(x)
Дано уравнение y’’ + y = tgx, составить систему для поиска варьируемых
постоянных:
22

23.

Задание 10
Неоднородные уравнения высших порядков
Уравнения вида: ay’’ + by’ + cy = f(x)
Метод неопределенных коэффициентов
Если в уравнении правая часть f(x) имеет вид