Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка

1.

Основные типы дифференциальных
уравнений первого порядка
Однородные дифференциальные
уравнения
Линейные дифференциальные уравнения
Уравнения Бернулли
1

2.

Однородные дифференциальные уравнения
Функция y = f(x, у) называется однородной функцией n – ого
порядка, если при умножении каждого ее аргумента на
n
произвольный множитель k вся функция умножится на k :
f (k x; k y ) k n f ( x; y )
Например, функция f ( x; y ) x 2 2xy
является однородной функцией второго порядка, так как:
f (k x; k y ) kx 2 kx ky k 2 ( x 2 2xy ) k 2 f ( x; y )
2
Дифференциальное уравнение
y f ( x; y )
(1)
называется однородным, если f(x, у) есть однородная
функция нулевого порядка.
2

3.

Однородное дифференциальное уравнение вида (1) приводится
к уравнению с разделяющимися переменными при помощи
подстановки:
y
t ; y xt;
x
y t x t
3

4.

Однородное уравнение часто задается в дифференциальной
форме:
P ( x; y )dx Q( x; y )dy 0
(2)
Уравнение (2) будет однородным, если P(x; y) и Q(x; y) –
однородные функции одинакового порядка.
При интегрировании уравнения вида (2) можно сначала привести
его к виду (1) или сразу сделать подстановку:
y xt ;
dy x dt t dx
4

5.

Пример.
x
2
y 2 dx 2xy dy 0
Уравнение является однородным, так как функции:
P( x; y ) x 2 y 2 ; Q( x; y ) 2xy
Пусть:
x
2
- однородные второго порядка
y xt; dy x dt t dx
( xt )2 dx 2x( xt ) ( xdt tdx ) 0
x 2dx x 2t 2dx 2 x 3tdt 2x 2t 2dx 0
dx
2tdt
2
2
3
x (1 t )dx 2x tdt
2
x
1 t
C
d t2 1
2
ln x
ln x ln t 1 ln C x 2
2
t 1
1 t
y2
C x ( 2 1)
x
5

6.

Линейные дифференциальные уравнения
ДУ первого порядка называется линейным, если его можно
записать в виде:
y p( x )y q( x )
(3)
Метод Бернулли.
Решение уравнения ищется в виде произведения двух функций,
то есть с помощью подстановки:
y u v
Где u(x) и v(x) – неизвестные функции, причем одна из них
произвольная функция, не равная нулю.
6

7.

Подставим в уравнение (3):
y u v y u v u v
u v u v p( x ) u v q( x )
u v u v p( x ) v q( x ) (*)
Подберем функцию v(x) так, чтобы выражение, стоящее в
скобках было равно нулю, то есть решим дифференциальное
уравнение с разделяющимися переменными:
v p( x ) v 0
Подставим найденную функцию v(x) в уравнение (*)
u v u 0
v p( x ) v q( x ) u v q(x )
Получим еще одно уравнение с разделяющимися
переменными, решив которое найдем функцию u(x)
7

8.

Пример.
y 2 xy 4 x
y u v u v
y u v;
Положим:
=0
u v u v 2x u v 4x u v u v 2x v 4x
dv
dv
2
x
v
2 xdx
v 2x v 0
dx
v
ln v x
2
v e
x2
u v 4 x u e x 4 x
2
du 4x e
x2
При нахождении функции v(x)
произвольная постоянная С
du не прибавляется
x2
4x e
dx
dx u 2 e d x
x2
2
u 2e C
нахождении
функции u(x)
Таким При
образом,
общее решение
уравнения:
произвольная
постоянная
С
x2
x2
x2
y u v 2прибавляется
e C e y 2 C e
x2
8

9.

Уравнение Бернулли
Уравнение вида
y p( x )y q( x ) y n (4)
Называется уравнением Бернулли.
Уравнение Бернулли решается также, как и линейное уравнение
методом Бернулли.
9