Similar presentations:
Metoda coardelor (secantei)
1. Metoda coardelor (secantei)
2. Metoda coardelor
1. Metoda este utilizată pentru găsirea rădăciniiaproximative a ecuaţiei f(x)=0 izolate într-un
interval a, b în cazul în care f(a)*f(b)<0 cu
aproximarea prestabilită.
2. Se consideră ecuaţia f(x)=0. Funcţia f(x) este
continuă pe[a, b]. Presupunem că în urma unui
proces de separare a rădăcinilor ecuaţia f(x)=0
are cel mult o rădăcină în [a, b].
3. Prin - notăm rădăcina ecuaţiei pe [a, b].
3. Metoda coardelor
Intervalele succesive a1, b1 , a2, b2 … ai, bi se obţinprin împărţirea intervalului anterior în raportul
f(ai -1,)/f(bi -1)
Metoda secantei este echivalentă cu înlocuirea f(x),
prin coarda care trece prin punctele (ai, f(ai)) şi (bi,
f(bi))
4. Metoda coardelor
Din ecuaţia coardeise poate obţine coordonata punctului de intersecţie xi al
coardei cu axa absciselor
După un anumit număr de paşi se obţine, fie o rădăcină exactă
=xi, astfel încît f(xi)=0, fie o secvenţă de intervale
[a0, b0], [a1, b1]… [ai, bi]…
Cu ai+1 = ai , bi+1= xi , dacă f(ai)*f(bi) 0
ai+1 = xi , bi+1= bi , dacă f(ai)*f(xi) 0.
5. Metoda coardelor
Fie f'' (x) > 0, unde a х b (cazul f'' (x) < 0 se reduce lacazul analizat dacă ecuaţia este rescrisă în formă f(x) = 0. Atunci curba у = f(x) este concavă şi se află
mai jos de coarda sa АВ. Sunt posibile două situaţii: 1)
f(а) > 0 (Fig. 2, а) şi 2) f(a) < 0 (Fib 2, b).
6. Metoda coardelor
În primul caz capătul а al segmentului rămînenemişcat, dar iteraţiile consecutive:
x0 = b;
formează un şir mărginit, monoton descrescător cu
proprietate:
În cazul al doilea rămîne nemişcat capătul b, dar
iteraţiile consecutive:
x0 = а;
(2)
7. Generalizînd, conchidem:
1. Nemişcat este acel capăt al intervalului pentrucare semnul funcţiei f (х) coincide cu semnul
derivatei de ordinul doi f'' (х);
2. Aproximări consecutive xn se află în acea parte de
rădăcină unde funcţia f (х) are semnul opus
semnului derivatei de ordinul doi f'' (х).
8. Exerciții
Determinaţi soluţiile ecuaţiilor, utilizând metodacoardelor: