Wprowadzenie do pracowni fizycznej. Wstęp do teorii pomiarów

1.

Wprowadzenie do Pracowni Fizycznej
WSTĘP DO TEORII POMIARÓW

2.

Etapy przeprowadzania
eksperymentu naukowego
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Sformułowanie problemu badawczego
Sformułowanie hipotezy
Zaplanowanie doświadczenia
Przeprowadzenie doświadczenia
Zanotowanie dostrzeżonych spostrzeżeń
Opracowanie wyników
Sformułowanie wniosku
Weryfikacja hipotezy

3.

Pomiary fizyczne
Wielkość fizyczna – każda mierzalna własność zjawiska lub
ciała.
Jednostka miary – umownie wybrany stan wielkości fizycznej.
Najczęściej stosowanym jednostki są jednostki z układu SI (
Międzynarodowy Układ Jednostek, jednostki podstawowymi
w tym układzie są: metr, kilogram, sekunda, amper, kelwin,
mol, kandela (jednostka światłości źródła światła))
Pomiar fizyczny – czynności prowadzące do ustalenia
wartości liczbowej miary danej wielkości. Pomiary fizyczne
wykonujemy za pomocą przyrządów pomiarowych.

4.

Metody pomiarowe
Metoda pomiarowa to zastosowany podczas pomiaru sposób
porównania wartości mierzonej z wzorcem miary tej wielkości.
Istnieje wiele metod pomiarowych różniących się sposobem
postępowania i zastosowanymi narzędziami.
Uwzględniając sposób postępowania podczas pomiaru i rodzaj
zastosowanych narzędzi pomiarowych, z czym wiąże się zwykle
osiągalna dokładność wyniku, rozróżnia się metody
bezpośredniego odczytu i metody porównawcze.

5.

Metody pomiarowe
Metoda bezpośredniego odczytu - zwana też metodą
odchyleniową, wartość wielkości mierzonej zostaje określona
na podstawie odchylenia wskazówki lub innego wskazania (np.
cyfrowego) narzędzia pomiarowego. Podczas pomiaru wzorzec
wielkości mierzonej nie występuje bezpośrednio, natomiast
przy produkcji narzędzia pomiarowego cały szereg wartości
wzorcowych został wykorzystany do odpowiedniego wykonania
podziałki (wzorcowanie podziałki).

6.

Metody pomiarowe
Metoda bezpośredniego odczytu jest najprostsza,
najłatwiejsza w zastosowaniu, daje natychmiastowe wyniki, ale
przy wykorzystaniu analogowych narzędzi pomiarowych jest
stosunkowo mało dokładna. Dokładność metody znacznie
zwiększyła się z chwilą zastosowania bardzo dokładnych
przyrządów cyfrowych.
Niedokładność pomiaru wykonywanego tą metodą wynika
głownie z istnienia dopuszczalnego błędu systematycznego
narzędzia pomiarowego określonego jego klasą dokładności.

7.

Metody pomiarowe
Ze względu na sposób porównywania wyróżnia się metodę
podstawową oraz porównawczą.
Metoda pomiarowa podstawowa polega na pomiarach
wielkości podstawowych wymienionych w definicji wielkości.
Metoda ta jest też czasem nazywana metodą bezwzględną.
Przykładem metody podstawowej jest pomiar wartości powierzchni
prostokąta przez pomiar długości jego boków.
Metoda pomiarowa porównawcza polega na porównaniu
wartości wielkości mierzonej z inna wartością tej samej wielkości
lub też ze znaną wartością innej wielkości jako funkcji wielkości
mierzonej.
Pomiarem porównawczym, zgodnie z definicją, jest pomiar objętości cieczy
za pomocą wzorca pojemności.

8.

Pojęcia podstawowe i klasyfikacja
błędów
W trakcie pomiaru nigdy nie można bezwzględnie dokładnie wyznaczyć
rzeczywistej wartości mierzonej wielkości, uzyskana wartość liczbowa
zawsze różni się od przewidywań teorii. W odniesieniu do przyczyn tej
rozbieżności używa się terminu błąd pomiaru.
W tym zastosowaniu pojęcie błąd pomiaru występuje w znaczeniu
jakościowym, natomiast w znaczeniu ilościowym błąd pomiarowy oznacza
różnicę pomiędzy wynikiem pomiaru a rzeczywistą wartością.
Błąd bezwzględny definiujemy
jako różnicę wyniku pomiaru x i
wartości rzeczywistej xR:
Błędu pojedynczego pomiaru nie można obliczyć z tej zależności ,
jeśli nie jest znana wartość prawdziwa wielkości mierzonej.

9.

Błąd względny definiowany jest jako stosunku błędu
bezwzględnego do wartości rzeczywistej.
Określa on maksymalną niezgodność z jaka można dokonać
pomiar

10.

Błąd pojedynczy można oszacować (estymować) lub obliczyć
jego niektóre składowe, w przypadku kiedy jesteśmy wstanie
określić i uwzględnić wszystkie działające na pomiar fizyczny
oddziaływania ( przy czym sposób postępowania zależy od
rozpoznania rodzaju oddziaływań)
Biorąc pod uwagę rodzaje oddziaływań błędy pomiaru można
podzielić na:
przypadkowe,
systematyczne
grube (pomyłki).

11.

Błędy przypadkowe
Błędy spowodowane przypadkowym oddziaływaniem dużej
liczby trudno uchwytnych czynników zakłócających , których
łączny wpływ zmienia się z pomiaru na pomiar.
Charakterystyczną cechą błędów przypadkowych jest to, że
ich wartości są różne w kolejnych pomiarach
przeprowadzanych w jednakowy sposób (w warunkach
powtarzalności).
Błąd przypadkowy jest zmienną losową, a w kolejnych
pomiarach tej samej wielkości, wykonywanych w warunkach
powtarzalności, otrzymuje się błędy o wartościach będących
realizacjami tej zmiennej
Błąd przypadkowy wyniku pomiaru nie może być
skompensowany przez poprawkę, ale może być zmniejszony
przez wielokrotne powtarzanie pomiarów, a ściślej przez
wykonanie serii n pomiarów i przyjęcie jako wyniku
końcowego średniej arytmetycznej serii wyników xi.

12.

Błędy systematyczne
Powstają wskutek systematycznych oddziaływań wielkości
wpływających. W kolejnych pomiarach wykonywanych w
jednakowych warunkach błąd systematyczny ma wartość
stałą
Przykładem są błędy systematyczne spowodowane
przesunięciem skali miernika analogowego, błędem wzorca,
pomijaniem czynników wpływających na wyniki pomiaru ,
ustalonym wpływem warunków otoczenia (np. temperatury).
Jeżeli błąd systematyczny powstaje wskutek rozpoznanego
oddziaływania systematycznego wielkości wpływających, to
wpływ tego oddziaływania może być określony ilościowo i
skompensowany przez dodanie do wyniku pomiaru poprawki
lub pomnożenie wyniku przez współczynnik poprawkowy.

13.

Błędy grube
Są to błędy spowodowane pomyłkami popełnianymi w trakcie
wykonywania pomiaru lub odczytu i zapisywania wyniku.
Błąd gruby pojawia się na skutek nieumiejętności użycia danego
przyrządu, pomyłek przy odczytywaniu i zapisie wyników itp
Przykładem mogą być błędy powstałe wskutek pomylenia skali
w mierniku wielozakresowym, pomylenia jednostek lub
przesunięcia przecinka przy zapisie wyniku. Często są
jednorazowe i bardzo duże.

14.

Niepewność pomiaru
Wyniki pomiarów przypisywane wielkości mierzonej,
niezależnie od sposobu przypisania, wykazują rozrzuty wokół
wartości prawdziwej, są więc niepewne. Pozwalają jedynie
wyznaczyć przedział obejmujący nieznaną wartość
prawdziwą. Ilościową miarą niedokładności pomiaru, której
odzwierciedlenie stanowi rozrzut wyników jest niepewność
pomiaru.
Istotne jest rozróżnienie między pojęciem błędu i pojęciem
niepewności pomiaru. Błąd jest zmienną losową, a
niepewność jest parametrem rozkładu prawdopodobieństwa
błędu.

15.

Niepewność pomiaru
Niepewność pomiaru– parametr, związany z wynikiem
pomiaru, charakteryzujący rozrzut wartości, które można w
uzasadniony sposób przypisać wielkości mierzonej.
Niepewność standardowa - u(x) – niepewność wyniku
pomiaru wyrażona w formie odchylenia standardowego (na
przykład odchylenie standardowe średniej). Należy zawsze
pamiętać, że u(x) nie jest funkcją, tylko liczbą.
Złożona niepewność standardowa - uc(x) – niepewność
standardowa wyniku pomiaru określana, gdy wynik ten jest
otrzymywany ze zmierzonych bezpośrednio innych wielkości

16.

Niepewność pomiaru - źródła
Istnieje wiele możliwych źródeł niepewności pomiaru, a do najważniejszych
należą:
1. niepełna definicja wielkości mierzonej;
2. niedoskonały układ pomiaru wielkości mierzonej;
3. niereprezentatywne pomiary, których wyniki mogą nie reprezentować
wielkości mierzonej;
4. niepełna znajomość oddziaływań otoczenia na pomiar albo niedoskonały
pomiar warunków otoczenia;
5. błędy obserwatora w odczytywaniu wskazań przyrządów analogowych;
6. skończona zdolność rozdzielcza przyrządów;
7. niedokładne wartości przypisane wzorcom i materiałom odniesienia;
8. niedokładne wartości stałych i innych parametrów otrzymywanych ze
źródeł zewnętrznych;
9. przybliżenia i założenia upraszczające tkwiące w metodzie i procedurze
pomiarowej;
10. zmiany kolejnych wyników pomiarów wielkości mierzonej w pozornie
identycznych warunkach.

17.

Obliczanie niepewności typu A i B
Sposób obliczania niepewności zależy od charakteru pomiaru. Wyróżnia się dwie
zasadnicze metody.
Metoda (typ niepewności) A
Gdy wyniki poszczególnych pomiarów tej samej wielkości różnią się, wówczas
niepewność obliczana jest na drodze analizy statystycznej wyników serii pojedynczych
pomiarów. Zakłada się przy tym pewien rozkład statystyczny poszczególnych prób. Jeżeli
błędy pomiarowe są losowe, tym rozkładem jest rozkład normalny. Wówczas, dla dużej
liczby prób (powyżej 30), estymatorem niepewności pomiarowej jest odchylenie
standardowe średniej (średni błąd średniej).
Metoda (typ niepewności) B
Gdy wyniki pomiarów są takie same lub podlegają systematycznym zmianom, wówczas
metody statystyczne nie mogą być zastosowane. Sytuacja taka występuje np. gdy:
klasa przyrządu jest niska w danych warunkach pomiaru (na przykład przy pomiarze
długości ołówka linijką ze skalą centymetrową). Wówczas o niepewności
pomiarowej decyduje klasa przyrządu (w przykładzie z linijką będzie to 1 cm).
mierzona wielkość zmienia się znacząco w czasie pomiaru z powodu warunków
zewnętrznych, np. zmiany temperatury.

18.

Obliczanie niepewności typu A
Niepewności pomiarowe typu A dotyczą serii pomiarów danej wielkości.
Wykonywanie n pomiarów bezpośrednich jednej wielkości odpowiada w tej
metodzie losowaniu n – {x1, x2, x3,…, xn} elementów z nieskończonego zbioru, w
którego skład wchodzą wszelkie możliwe wartości pomiaru. Wynikowi pomiarów
w takiej sytuacji odpowiada zatem średnia arytmetyczna ze wszystkich
wykonanych pomiarów.
Wskutek oddziaływań przypadkowych średnia arytmetyczna jest zmienną losową.
Wartość średniej arytmetycznej serii pomiarów można w uzasadniony sposób
przypisać wielkości mierzonej i traktować jako poprawny wynik pomiaru (podczas
pomiarów warunki zewnętrzne nie mogą ulec zmianie.

19.

Obliczanie niepewności typu A
W celu podania rozrzutu wyników od wartości oczekiwanej x0 (w przypadku pomiaru
odpowiadającej „właściwej” jego wartości) musimy posłużyć się pojęciem estymatora
odchylenia standardowego (w teorii błędów nazywa się średnim błędem kwadratowym),
który zgodnie z prawami statystyki możemy obliczyć ze wzoru:
n
sx
2
(
x
x
)
i
i 1
(n 1)
W celu obliczenia odchylenia standardowego dla wyniku całej serii pomiarów należy
uwzględnić fakt, że w przypadku liczenia wartości średniej dochodzi do kompensacji
odchyleń wynikających z rozbieżności pomiarów z wartością oczekiwaną. W związku z tym
zależność pomiędzy estymatorem odchylenia standardowego, a estymatorem
odchylenia standardowego średniej może być zapisana w następujący sposób:

20.

Obliczanie niepewności typu A
Podstawiając we wzorze
zależność
otrzymujemy jawną zależność na estymator odchylenia standardowego średniej, który w
naszym przypadku będzie odpowiadał niepewności pomiaru oznaczanej jako u(x).
Ze wzrostem liczby pomiarów maleje wartość odchylenia standardowego średniej, a
więc wynik pomiaru (średnia pomiarów) jest dokładniejszy.
Średnia podobnie jak wynik pojedynczego pomiaru, nie jest równa wartości prawdziwej,
jednak leży ona bliżej wartości prawdziwej, niż pojedynczy pomiar.
Błąd średni kwadratowy jest najważniejszym i najczęściej stosowanym wskaźnikiem
dokładności pomiaru. Dzieje się tak dlatego, że jest to błąd policzony optymalnie najlepiej z danej serii pomiarowej.

21.

Obliczanie niepewności typu B
Niepewność wzorcowania d x jest głównym powodem rozbieżności wyników
doświadczalnych z teorią w momencie, kiedy nie jest możliwa analiza statystyczna wyników.
W przypadku pomiaru z niepewnością wzorcowania możemy przyjąć, że odchylenie
standardowe takie pomiaru odpowiada odchyleniu standardowemu w rozkładzie
jednostajnym prawdopodobieństwa. W związku z tym odchylenie standardowe takiego
pomiaru wynosi