Теория управления. Преобразование Лапласа

1.

Теория управления
Преобразование Лапласа

2.

Прямое преобразования Лапласа
Операторный метод основан на использовании преобразований Лапласа функций времени,
входящих в уравнение. Преобразованием Лапласа называют интегральное преобразование
определяющее соответствие между функцией x(t) вещественного переменного t и
функцией X(s) комплексного переменного s. При этом x(t) называют оригиналом, a X(s) изображением по Лапласу. Здесь s - это комплексная переменная, которая выбирается так,
чтобы интеграл сходился.
Символическая запись преобразования Лапласа:
X(s) = L{x(t)} - где L{ }- оператор преобразования Лапласа.
Предполагается, что оригинал обладает некоторыми свойствами, которые практически во
всех случаях выполняются. На практике обычно не нужно вычислять преобразование
Лапласа для заданного оригинала, поскольку для большинства важнейших функций
времени изображения по Лапласу известны.

3.

Обратное преобразования Лапласа
Обратное преобразование Лапласа L-1{X(s)} позволяет
вычислить оригинал x(t) по известному изображению X(s):
где j=√-1 - это мнимая единица, а постоянная σ выбирается
так, чтобы интеграл сходился.
На практике вместо вычисления интеграла чаще всего
используют готовые таблицы соответствия изображения и
оригинала.

4.

Свойства преобразования Лапласа
Линейность преобразования:
L{αy1(t) + βy2(t)} = αL{y1(t)} + βL{y2(t)} = αY1(s) + βY2(s).
2)
Дифференцирование оригинала:
L{dy(t)/dt} = sY(s) – y(0)
где y(0) - начальное условие.
Важно!! При y(0)=0 (нулевых начальных условиях) изображение производной
1)
равно изображению самой функции, умноженному на s. Аналогично для построения
изображения n-ой производной нужно умножить изображение функции на sn (это также
справедливо только при нулевых начальных условиях).

5.

Свойства преобразования Лапласа (1)
3) Интегрирование оригинала. Эта операция сводится к делению
изображения на s:
.
4) Теорема
справедливо:
запаздывания.
Для
любого
положительного
числа
τ
L{y(t −τ )}= e−sτ L{y(t)} = e− sτY(s) .
То есть, функции y(t) и y(t – τ) описывают один и тот же процесс, но
процесс, описываемый функцией y(t – τ), начинается с опозданием на
время τ. В области изображений это соответствует умножению на e-sτ.

6.

Свойства преобразования Лапласа (2)
5) Теорема умножения изображений. Если y1(t) и y2(t) –
оригиналы, а Y1(s) и Y2(s) – их изображения, то
.
где * - обозначение операции свёртки.
6) Теорема о предельном значении. Если x(t) – оригинал, а
X(s) – его изображение, то