Понятие площади многоугольника. Геометрия. 8 класс

1.

Понятие площади
многоугольника
Геометрия 8 класс

2.

Цели урока:
O Получить представление об измерении
площадей многоугольника;
O Основные свойства площадей;
O Вывод формулы для вычисления
площади прямоугольника;
O Примеры использования изученного
материала в ходе решения задач.

3.

Понятие площади
O В жизни часто приходится вычислять площади геометрических
фигур.
O Например, приходится определять площадь поля, огорода,
спортивной площадки или определять площадь пола в здании,
площадь стен или окон в комнате.
O При всяком измерении необходимо заранее иметь меру, с
которой сравнивается измеряемая величина. При взвешивании
употребляются меры веса: килограмм, грамм, тонна, центнер.
Время измеряется часами, минутами, секундами.
O При измерении длины отрезка МN сравниваем его с метром,
сантиметром или с какой-нибудь другой мерой длины. При
измерении углов пользуемся угловыми градусами, минутами.
O Точно так же при измерении площадей геометрических фигур
пользуются особыми мерами, с которыми сравниваются эти
фигуры.

4.

Единицы измерения площадей
Такими мерами являются квадраты, стороны которых равны
какой-нибудь линейной мере: метру, дециметру, сантиметру,
миллиметру.
При измерении площадей, имеющих большие размеры, за
меру может быть принят квадрат, сторона которого равна
километру.
Квадрат, сторона которого равна какой-нибудь линейной
единице, называется квадратной единицей: квадратным
метром, квадратным сантиметром, квадратным километром и
т. д.,
Измерить площадь какой-нибудь геометрической фигуры
— значит узнать, сколько тех или иных квадратных
единиц содержится в фигуре, площадь которой измеряется.

5.

Площадь одного
квадрата – 1 см2
Площадь всей
фигуры-?

6.

Найди площади фигур

7.

Площадь многоугольника
Площадь многоугольника – это величина той части
площади, которую занимает многоугольник.
Площадь многоугольника –
выражается положительным
числом
Площадь многоугольника
показывает сколько раз единица
измерения или её части
укладываются в данном
многоугольнике.

8.

Свойства площадей
Свойство1.
Равные многоугольники
имеют равные площади
Задача
Площадь параллелограмма
ABCD – 30 кв. см Чему равна
площадь треугольника АВD?
Многоугольники, имеющие равные площади
называются равновеликими.

9.

Свойство 2.
Если многоугольник составлен из нескольких
многоугольников, то его площадь равна сумме
площадей этих многоугольников.
S1=S2+S3
Если многоугольник
разрезан на несколько
многоугольников и из
него составлен другой
многоугольник, то
такие многоугольники
называют
равносоставленными.

10.

Свойство 3
Площадь квадрата равна квадрату его стороны.
Продолжи цепочку:
1 км2 = 1000000 м2 = 100 дм2 = 100 см2= 100 мм2

11.

Измерение площадей многоугольников
способом разбиения фигуры на квадраты.
В
А
В
1дм
D
К
1дм
С
1см
K 1см
SABCD
2дм2 12см2 или 2,12дм2
С

12.

Площадь фигуры по клеточкам
Для того, чтобы найти площадь любой фигуры по
клеточкам, можно использовать формулу Пика.
Данная формула основана на подсчёте количества узлов,
лежащих внутри фигуры и на её границе.
Узел - это точка, которая лежит на пересечении 2 линий
данной сетки: вертикальных и горизонтальных.
Площадь фигуры по клеточкам находится по формуле:
N - количество узлов, которые находятся внутри фигуры.
M - количество узлов, которые находятся на границах (на
вершинах и сторонах).

13.

Внутренние узлы - синие - N - их у нас 20.
Внешние узлы - красные - М - их у нас 18 и их
количество нам надо поделить на два, получится
18/2 = 9 узлов.
Складываем 9 + 20 и вычитаем единицу: 20 + 9 - 1
= 28 см².

14.

Найдите площади фигур

15.

Палетка.
В тех случаях, когда измерение площади какойнибудь фигуры не требует большой точности, а
также, когда фигура, площадь которой
требуется измерить, ограничена
криволинейным контуром , для измерения
площади употребляется особый прибор,
называемый палеткой.
Палетка представляет собой прозрачную
пластинку, на которую наносится масштабная
квадратная сетка, например, со стороной
квадрата, равной 1 см.

16.

17.

Эта пластинка накладывается на фигуру, площадь
которой требуется измерить
Сначала подсчитывается число квадратов, полностью
укладывающихся в данной фигуре; на чертеже их 26.
Затем подсчитывается число квадратов, пересекаемых
контуром фигуры; на чертеже их 21.
Каждый из неполных квадратов принимается за
половину квадрата, таким образом, их общая площадь
приближённо составит 21 : 2 = 10,5 квадрата.
Общее число квадратов, заключающихся в измеряемой
фигуре, таким образом, составит 26 + 10,5 = 36,5
квадрата. Если, например, каждый квадрат в
действительности соответствует 1 кв. м, то измеряемая
площадь составит 36,5 кв. м.

18.

Старинные меры площадей на Руси
•В 11 – 13 веках употреблялась мера «плуг» - это мера земли , с
которой платили дань. Есть основание считать , что «плуг» 8 – 9 гектаров.
•В 16 – 18 веках мерою полей служит «десятина»( равная 1,1 га)
и «четверть»( равная половине десятины- поле, на котором высевали
четверть хлеба). Десятина, которая в быту местами имела и другие
размеры, делилась на 2 «четверти», четверть, в свою очередь, на
2 «осьмины», осьмина – на 2 «полуосьмины» ит.д.
•Налоговой единицей земли была «соха», в Новгороде
«обжа», которая имела различные размеры, в
зависимости от качества земли социального положения
владельца.
•Позже землю измеряли «акрами» (4047 м2)

19.

100
Единицы
измерения
площадей
100
:100
:100
:100
:100
:100
1дм2
1см2
:100
1а
1м2
100
1мм2
1га
100
100
100
1км2

20.

Площадь прямоугольника
O Теорема: площадь прямоугольника равна
произведению его смежных сторон.
a
b
a
a2
S
b
S
b2
a
b
Дано: а, b –стороны прямоугольника.
Доказать: S = a b.
Доказательство:
a
Достроим прямоугольник до квадрата
cо стороной ( а + b ).
Его площадь равна ( а + b )2 или
b
S + a2 + S + b2
Получим: (a + b)2 = S + a2 + S + b2
a2 + 2ab + b2 = 2 S + a2 + b2
S=ab
2S=2ab

21.

Площади квадратов,
построенных на сторонах
прямоугольника, равны 64 см2
и 121 см2. Найдите площадь
прямоугольника.
121 см2
S-?
64 см2

22.

Реши задачи
O 1. Найти площадь прямоугольника, у которого смежные стороны
равны 3,5 см и 8 см.
28 см2
2. Одна из сторон прямоугольника равна 2,5 см, а его площадь
10 см2. Чему равен периметр прямоугольника ?
13 см
3. Сколько краски необходимо для покраски пола в
комнате, размеры которой 3 м и 4 м, если на 1м2
расходуется 0,2 кг краски ?
2,4 кг
4. Сколько времени нужно для скашивания
травы с луга, размеры которого 20 м и 15 м,
если работник скашивает газонокосилкой
1 сотку за 15 мин ?
45 мин.

23.

Домашнее задание
§ 20, вопросы 1−8,
с. 145, № 667, 670,
673, 675

24.

Спасибо за внимание