Методы численного дифференцирования

1.

1

2.

2
Односторонняя разность
Производная функции определяется выражением:
f x 0
df
dx
lim
f ( x 0 dx) f ( x 0 )
dx 0
dx
заменяем приращение dx на конечную величину
(шаг дифференцирования):
f x 0
f ( x 0 x ) f ( x 0 )
x
f(x0)
f(x0+Δx)
x0
x0+Δx
Δx

3.

3

4.

4
Односторонняя разность
Численное дифференцирование
(для дискретной функции):
правосторонняя разность:
f fi
f i i 1
x i 1 x i
f i
f x 0
f ( x 0 x ) f ( x 0 )
x
левосторонняя разность:
f i f i 1
x i x i 1
f x 0
f ( x0 ) f ( x 0 x )
x
f(xi)
f(xi+1)
f(xi-1)
xi-1
xi+1
xi
f1
x1
f2
x2
…
…
fi
xi
…
…
fn
xn

5.

5
Двусторонняя разность
Более точное значение производной:
f ( x 0 x ) f ( x 0 x )
f x 0
2 x
Двусторонняя разность:
f i 1 fi 1
f i
xi 1 xi 1
f(xi+1)
f(xi-1)
tg 1
f(xi
)
f(xi)
f(xi+1)
f(xi-1)
tg 2
xi-1
xi+1
xi
f1
x1
f2
x2
…
…
fi
xi
…
…
fn
xn

6.

6
Графическое представление
производной
f(xi+1)
f(xi-1)
tg 1
f(xi)
tg 2
Односторонняя разность
f(xi+1)
f(xi-1)
f(xi)
tg 2 tg 1
Двусторонняя разность
tg