Кинематикаға кіріспе. Нүктенің және қатты дененің кинематикасы

1.

АЛМАТЫ ТЕХНОЛОГИЯЛЫҚ УНИВЕРСИТЕТІ
ФАКУЛЬТЕТ «ИНЖИНИРИНГ ЖӘНЕ АҚПАРАТТЫҚ ТЕХНОЛОГИЯЛАР»
КАФЕДРА «ИНЖЕНЕРЛІК ГРАФИКА ЖӘНЕ ҚОЛДАНБАЛЫ МЕХАНИКА»
Пән : «Теориялық механика»
Дәріс тақырыбы: «Кинематикаға кіріспе. Нүктенің және қатты
дененің кинематикасы.»
Лектор, магистр
Раб.тел.:8 (727) 396-71-33 (вн. 156)
Эл.адрес: [email protected]

2.

1. Кинематикаға кіріспе
Кинематика деп денелер қозғалысының геометриялық қасиеттері
олардың инерттілігін (массасын) және оларға әсер ететін күштерді есепке алмай
қарастыратын механиканың бөлімі аталады.
Қозғалыс деп біз механикада уақыт өте келе берілген дененің басқа
денелерге қатысты кеңістікте орналасуын түсінеміз.
Қозғалатын дененің (немесе нүктелердің) қозғалысы зерттелетін дене
уақытының әр түрлі сәттеріндегі жағдайын анықтау үшін осы денемен бірге
есептеу жүйесін қалыптастыратын қандай да бір координат жүйесін қатаң
байланыстырады. Есептеу жүйесін үш координаталық ось түрінде бейнелейміз.
Кинематикада есептеу жүйесін таңдау шартты түрде алынады.

3.

Денелердің
кеңістіктегі
қозғалысы
уақыт
өте
келе
жасалады.
Механикадағы кеңістікті үш өлшемді евклид кеңістігі ретінде қарастырамыз.
Ондағы барлық өлшеулер евклидтік геометрия әдістерінің негізінде жасалады.
Жол ұзындығының бірлігі ретінде 1м алынады. Механикадағы уақыт
универсалды, яғни барлық қарастырылатын есептеу жүйелерінде бірдей өтетін
болып саналады. Ұзындықтың өлшемі L символымен, ал уақыт – Т символымен
белгіленеді.
Уақыт скалярлық, үздіксіз өзгеретін шама болып табылады. Кинематика
есептерінде t уақыты тәуелсіз айнымалы (аргумент) болып қабылданады.
Барлық басқа айнымалы шамалар (қашықтық, жылдамдық және т. б.) уақыт
ағымында өзгеретін шамалар ретінде қарастырылады, яғни t уақытқа тәуелді
функциялар ретінде қарастырылады. Уақыттың саналуы бастапқы сәттен (t = 0)
жүргізіледі, оны таңдау әр жағдайда айтылады. Кинематика есептерін шешу
үшін зерттелетін қозғалыс қалайда берілуі қажет.

4.

Қозғалысты немесе дене (нүкте) қозғалысының заңын беру кез келген
уақытта осы санақ жүйесіне қатысты осы дененің (нүктенің) орнын
көрсету деп түсінеміз.
Нүктелердің немесе денелердің қозғалысын математикалық әдіспен
анықтау кинематиканың маңызды міндеттерінің бірі болып табылады.
Сондықтан кез-келген объектінің қозғалысын зерттеу осы қозғалыстың берілу
тәсілдерінен басталады.
Нүктенің және қатты дененің кинематикасының негізгі міндеті қозғалыс
заңын, нүктенің (дененің) қозғалыс заңын біле отырып, осы қозғалысты
сипаттайтын барлық кинематикалық шамаларды анықтау әдістерін белгілеу
болып табылады.

5.

Осы есептеу жүйесіне қатысты қозғалатын нүктені сипаттайтын үздіксіз
сызық нүкте траекториясы деп аталады. Егер траектория түзу сызық болса,
нүкте қозғалысы түзу сызықты, ал қисық сызық болса қисық сызықты деп
аталады.
2. Нүкте қозғалысын беру тәсілдері
Нүкте қозғалысын беру үшін келесі үш тәсілдің бірін қолдануға болады: 1)
векторлық, 2) координаттық, 3) табиғи.
2.1. Нүкте қозғалысының векторлық тәсілі.
М нүктесі Oxyz санақ жүйесіне қатысты
қозғалсын. Бұл нүктенің орнын кез келген
уақытта координаталардың басы О-дан М
нүктесіне
жүргізілген
радиус-векторды r
қойып анықтауға болады.

6.

М нүктесінің қозғалысы кезінде
r
векторы уақыт өте келе модуль бойынша
да, бағыт бойынша да өзгереді. Демек,r
t аргументіне тәуелді айнымалы
вектор (вектор-функция) болып табылады:
r r (t )
Бұл теңдік векторлық түрдегі нүктенің қозғалыс заңын анықтайды.
2. Нүкте қозғалысын берудің координаталық
тәсілі. Нүктенің орнын тікелей х, у, z
декарттық
координаттарымен
анықтауға
болады, олар нүкте қозғалысы кезінде уақыт
өте өзгереді.
x f1 (t ), y f 2 (t ), z f 3 (t )
Бұл теңдеулер тікбұрышты декарттық координаттардағы нүкте қозғалысының
теңдеулері болып табылады.

7.

3. Нүкте қозғалысының табиғи тәсілі.
Қозғалыстағы нүкте траекториясы алдын ала белгілі болған жағдайларда
қозғалыс жасаудың табиғи тәсілі ыңғайлы. АВ қисығы М нүктесінің Oxyz
есептеу жүйесіне қатысты қозғалысындағы траекториясы болсын. Бұл
траекторияда есептеу басталғаннан кейін қабылданатын бір қозғалмайтын О'
нүктесін таңдап, траекторияда оң және теріс бағыттарды белгілейміз. Бұл
жағдайда М нүктесінің траекторияның доғасы бойымен өлшенген және тиісті
белгімен алынған О' нүктесінен М нүктесіне дейінгі қашықтыққа тең болатын
қисық сызықты координатаны S - ті анықтаймыз.

8.

s f (t )
Бұл теңдеу траекторияның бойымен М нүктесінің
қозғалыс заңын білдіреді.
Сонымен, нүктенің қозғалысын табиғи тәсілмен беру үшін: 1) нүкте
траекториясын; 2) оң және теріс санау бағыттарын көрсете отырып,
траекторияда
санаудың
басталуын;
қозғалысының заңын мына түрде
3)
траекторияның
s f (t )
беру керек.
бойымен
нүкте

9.

1. Нүкте жылдамдығының векторы
Нүкте қозғалысының негізгі кинематикалық сипаттамаларының бірі нүкте
жылдамдығы деп аталатын векторлық шама болып табылады. Алдыменен
нүктенің белгілі бір уақыт аралығындағы орташа жылдамдығы туралы түсінік
енгіземіз. Қозғалмалы нүкте М
сәтінде болсын , ал t1 сәтте
r радиус - вектормен анықталатын t уақыт
r1 вектормен анықталатын М1 күйіне келеді.
Онда нүктенің t t1 tуақыт аралығында орын ауыстыруы MM 1 вектормен
анықталады, ол нүктенің орын ауыстыруы векторы деп аталады. ОММ1
үшбұрышынан r MM 1 r1 көрініп тұр ; демек,
MM 1 r1 r r

10.

Нүктенің орын ауыстыру векторының тиісті
t
уақыт аралығына
қатынасы модуль және бағыт бойынша орташа деп аталатын векторлық шаманы
уақыт аралығындағы нүкте жылдамдығын береді vср MM 1 / t r / t .
Қазіргі t уақыттағы нүктенің жылдамдығы деп v векторлық шама
аталады, оған
t
уақыт аралығының нөлге ұмтылуы кезіндегі v ср орташа
жылдамдық ұмтылады:
v lim( vср ) lim
t 0
Қатынас шегі r / t ,
t 0
r
t
кездегі аргумент t бойынша
бірінші туындысы болып табылады.
v dr / dt
r
вектордың

11.

2. Нүктенің үдеу векторы
Нүктенің үдеуі деп нүкте жылдамдығының модулі мен бағытын уақыт
өткен сайын өзгерулерін сипаттайтын векторлық шаманы айтамыз.
Уақыттың кейбір сәтінде t қозғалатын нүкте
М жағдайында және v жылдамдығы болсын , ал t
сәтінде: M1 күйіне келеді және v1 жылдамдығы бар
болсын. Онда t t1 t уақыт аралығында нүкте
жылдамдығы өседі v v1 v . v векторын құру
үшін М нүктесінен v1 векторына тең болатын
векторды салып параллелограмм тұрғызамыз, мұнда v1
диагоналі, ал v
бір жағы болады. Онда, екінші
жағын v
векторы бейнелейтіні анық. Вектор v
әрдайым
траекторияның
иілу
жағына
бағытталатынын ескереміз.

12.

Жылдамдық векторының өсуі v -ың t тиісті уақыт аралығына қатынасы
осы уақыт аралығындағы нүктенің орташа үдеу векторын анықтайды:
аср v / t
Берілген t уақыттағы нүкте үдеуі деп
а
векторлық шама аталады, оған уақыт
аралығы t нөлге қарай ұмтылған кезде орташа үдеу ұмтылады:
v dv d 2 r
а lim
2
t dt dt
Демек, берілген уақыттағы нүктенің үдеу векторы уақыт бойынша
жылдамдық векторының бірінші туындысына немесе
векторының екінші туындысына тең.
нүктенің радиус -