Наибольшее и наименьшее значения функции. Решение прикладных задач на оптимизацию

1. Наибольшее и наименьшее значения функции Решение прикладных задач на оптимизацию

2. Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции.

Найти производную функции и
критические точки, лежащие
внутри отрезка [a;b]
Вычислить значения функции в
отобранных критических точках и
на концах отрезка
Выбрать наибольшее и
наименьшее значение функции

3. Повторение

Найти наибольшее значение
функции V(x) = (12 – x) • х2 / 2
на отрезке [0;12].
При каком х достигается это
значение?

4. Решение задачи

V(x) = (12 – x) • х2 / 2 = 6х2-0,5 х
V`(x) =12x - 1,5х2, 12x - 1,5х2 = 0,
1,5х•(8 –х)=0,
х=0 , х=8.
V(0)=0
V(8) =128
V(12)=0
Наибольшее значение функции
равно 128. Это значение функция
принимает при х=8

5.

«Особенную важность имеют те
методы науки, которые позволяют
решать задачу, общую для всей
практической деятельности
человека: как располагать своими
средствами для достижения
наибольшей выгоды»
П.Л. Чебышев

6. Задачи на оптимизацию.

Оптимизация,
(от лат. optimum- наилучший).
Выбор наилучшего из возможных
вариантов.

7. Схема решения задач на оптимизацию

Составление математической модели
выбирается независимая переменная, через
которую выражается та величина, для
которой надо найти наибольшее или
наименьшее значение
Работа с моделью
находится наибольшее или наименьшее
значение полученной функции
Ответ на вопрос задачи
по результатам, полученным в предыдущем
пункте, записывается конкретный ответ на
вопрос задачи

8.

Периметр прямоугольника равен 40 см.
Какую длину должны иметь стороны
прямоугольника, чтобы площадь была
наибольшей?

9. Задача: Периметр прямоугольника равен 40 см. Какую длину должны иметь стороны прямоугольника, чтобы площадь была наибольшей?

х
20 - х
Решение:
Составляем математическую модель. Пусть
х – ширина прямоугольника, тогда длина –
20 - х. Функция будет иметь следующий вид:
S(x) = x • (20 - x) = 20x - x2 , где 0<x<20
Находим наибольшее значение этой функции
S`(x) = 20 - 2x,
20 – 2x = 0,
x = 10.
S(10) = 10 • (20 - 10) = 100
Ответ:
Длина и ширина прямоугольника равны 10 см.
Вывод:
Наибольшую площадь среди четырехугольников
при заданном периметре имеет квадрат

10. Задача Открытый металлический бак с квадратным основанием должен вмещать 32 л воды. При каких размерах на его изготовление

уйдёт
наименьшее количество металла?

11.

Решение:
Пусть х – длина основания, тогда высота – 32 / х2.
Площадь поверхности состоит из дна и четырёх
боковых прямоугольников
S= х2 + 4х • 32 / х2 = х2 +128/х
S`=2х – 128/х2 2х3 - 128 = 0 х3 = 64 х = 4
х=4 – единственная точка минимума на отрезке,
значит в ней функция принимает наименьшее
значение.
Ответ: наименьшее количество металла
потребуется для бака с размерами 4х4х2 дм.

12. Задача

Строители решили пристроить к
стене школы физкультурный зал
прямоугольной формы. Оказалось,
что кирпича у них хватит на 100 м
стены (по периметру трёх новых
стен). Зал должен быть как можно
больше по площади.
Какие размеры пристройки
выбрать?

13.

Однажды в разговоре П.Л. Чебышев
заметил: «В старину математические
задачи задавали боги. Далее
наступил второй период, когда
задачи задавали полубоги: Ньютон,
Эйлер, Лагранж и т.д. Теперь
третий период, когда задачи задает
практика»