Диффузия в неограниченном теле
Мгновенный точечный источник
Мгновенный точечный источник
Суперпозиция источников
Интеграл по источникам
Интеграл по источникам, строгий вывод
Интеграл по источникам, строгий вывод
Начальные условия
Сохранение количества частиц
Симметричное начальное распределение
Симметричное распределение
Симметричное распределение
Симметричное распределение
Частные случаи
Частные случаи
Частные случаи
Частные случаи
Частные случаи
Частные случаи
Частные случаи
Функция ошибок
Частные случаи
Частные случаи
Частные случаи
Частные случаи
Частные случаи
Диффузия в полуограниченном теле
Диффузия в полуограниченном теле
Диффузия в полуограниченном теле
Диффузия в полуограниченном теле
Диффузия в полуограниченном теле
Диффузия в полуограниченном теле
Диффузия в полуограниченном теле
2.32M
Category: physicsphysics

Диффузия в неограниченном теле

1. Диффузия в неограниченном теле

x2
A
c ( x, t )
exp
t
4 Dt
c
2c
D 2
t
x
300
N cdx
250
c, a.u.
200
( x) 2
N
c ( x, , t )
exp
4 Dt
4 Dt
150
100
50
0
0
5
X, a.u.
10

2. Мгновенный точечный источник

3. Мгновенный точечный источник

1000
time:
1/16
1/8
1/4
1/2
1
2
4
8
16
c, a.u.
800
600
400
200
0
0
2
4
6
x, a.u.
8
10

4. Суперпозиция источников

time: 1/2
1/16
1/8
1/4
1/1
1
2
3
4
5
sum
1000
c, a.u.
800
600
400
200
0
0
2
4
6
8
x, a.u.
n
c( x, t )
i 1
(ai x) 2
Ni
exp
4 Dt
4 Dt
10

5. Интеграл по источникам

( x) 2
1
d
c( x, t )
f ( ) exp
4 Dt
4 Dt
• фундаментальное решение уравнения
диффузии:
( x) 2
1
G( x, , t )
exp
4 Dt
4 Dt

6. Интеграл по источникам, строгий вывод

c
2c
D 2
t
x
x
c( x, t ) t 0 c( x,0) f ( x)
c ( x, t ) ?
• Метод разделения переменных:
c( x, t ) X ( x)T (t )
1 1 dT 1 d 2 X
2
D T dt X dx 2
T (t ) A exp 2 Dt
X ( x) B exp i x
c( x, t ) C exp( 2 Dt ) exp( i x)
c( x, t ) C ( ) exp( 2 Dt ) exp( i x)d
c( x,0) f ( x) C ( ) exp( i x)d
C ( )
1
f ( ) exp( i )d
2

7. Интеграл по источникам, строгий вывод

1
2
c( x, t ) exp( Dt )
f ( ) exp( i )d exp( i x)d
2
1
2
c ( x, t )
f ( ) exp Dt i ( x) d d
2
2
2
d ( Dt )
1
( x)
i
(
x
)
d
Dt
c ( x, t )
f
(
)
exp
exp
2
4
Dt
4
Dt
Dt
( x) 2
1
d
c ( x, t )
f ( ) exp
2
4
Dt
Dt
( x) 2
1
d
c( x, t )
f ( ) exp
4 Dt
4 Dt

8. Начальные условия

• замена переменной:
z
x
x z 4 Dt
4 Dt
d 4 Dt dz
• тогда:
c ( x, t )
1
c ( x ,0 )
1
2
f
(
x
z
4
Dt
)
exp
z
dz
2
f
(
x
)
exp
z
dz f ( x)

9. Сохранение количества частиц

• если в момент времени t = 0
f ( )d N
0
• то для t > 0
1
( x) 2
d dx
N (t ) c( x, t )dx
f ( ) exp
4 Dt
4 Dt
1
( x) 2
dx d N 0
N (t ) f ( )
exp
4 Dt
4 Dt

10. Симметричное начальное распределение

• если:
• то:
c( ,0) c( ,0)
( x) 2
1
d
c ( x, t )
c( ,0) exp
4 Dt
4 Dt
( x) 2
1
d
c( ,0) exp
4 Dt
4 Dt
( z x) 2
1
dz c( x, t )
c( z ,0) exp
4 Dt
4 Dt
c ( x, t ) c ( x, t )

11. Симметричное распределение

1000
time:
1/16
1/8
1/4
1/2
1
2
4
8
16
c, a.u.
800
600
400
200
0
-4
-2
0
x, a.u.
2
4

12. Симметричное распределение

• Поток через плоскость x = 0:
( x) 2
c
1
d
c( ,0)( x) exp
x 2Dt 4 Dt
4 Dt
2
c
1
d 0
c( ,0) exp
x x 0 2 Dt 4 Dt
4 Dt
• (интеграл нечетной функции в симметричных
пределах)

13. Симметричное распределение

( x) 2
1
d
c ( x, t )
c( ,0) exp
4 Dt
4 Dt
0
( x )2
( x )2
1
d c( ,0) exp
d
c( ,0) exp
4 Dt
4 Dt
4 Dt
0
( x )2
( x z)2
( x z)2
c( ,0) exp 4Dt d 0 c( z,0) exp 4Dt dz 0 c( z,0) exp 4Dt dz
0
( x )2
( x ) 2
1
exp
d
c ( x, t )
c( ,0) exp
4 Dt
4 Dt
4 Dt 0

14. Частные случаи

• Бесконечно тонкий слой
a h
( x) 2
1
N
d
c( x, t )
exp
4 Dt
4 Dt 2h a h
( a x) 2
N
c( x, t )
exp
4 Dt
4 Dt

15. Частные случаи

• Бесконечно тонкий слой
• Максимум:
1000
time:
1/16
1/8
1/4
1/2
1
2
4
8
16
800
c, a.u.
600
400
N
cmax (t )
4 Dt
• Ширина:
200
0
-4
-2
0
2
4
2 4Dt
x, a.u.
Концентрация в произвольной точке x со временем возрастает,
достигает экстремума при t = x2/2D, а затем убывает

16. Частные случаи

• Бесконечно тонкий слой
Концентрация в произвольной точке x = 5

17. Частные случаи

• Бесконечно тонкий слой
50
x = 5, D = 1
c, a.u.
40
x 2 1
c
N
x2
exp
2
t
4 Dt
4 Dt 2t 4 Dt
30
20
10
0
0
20
40
60
80
100
time, s
Концентрация в произвольной точке x со временем возрастает,
достигает экстремума при t = x2/2D, а затем убывает

18. Частные случаи

• Бесконечно тонкий слой
x=-(2Dt)1/2
c
0
t
x=0
x=(2Dt) 1/2
c
0
t
c
j
0
t
x
c
0
t
c
j
0
t
x

19. Частные случаи

• Бесконечно тонкий слой
• Поток:
j ( x, t ) D
x
c
N
x exp
x 2t 4 Dt
4 Dt
2
j (0, t ) 0
j ( 2 Dt , t ) max

20. Частные случаи

• Слой конечной толщины
h
( x) 2
c0
d
c ( x, t )
exp
4 Dt
4 Dt h
h x
4 Dt
c0
h x
c0 2
2
2
exp
z
dz
4 Dt
h x
4 Dt
2
exp
z
dz
0
2
2
0 exp z dz
h x
4 Dt
c0
h x
h x
c( x, t ) erf
erf
2
4 Dt
4 Dt

21. Функция ошибок

2
2
dz
exp
z
erf(x)
erf ( y)
y
0
1.0
0.5
0.0
-3
-2
-1
0
-0.5
-1.0
1
2
3

22. Частные случаи

• Слой конечной толщины
c ( x, t )
c0
h x
h x
erf
erf
2
4 Dt
4 Dt
1.0
D = 1,
time:
1/64
1/32
1/16
1/8
1/4
1/2
1
0.8
c/c0
0.6
0.4
0.2
0.0
-4
-2
0
x/h
2
4

23. Частные случаи

• Слой конечной толщины
200
h = 2, x = 5
D=1
c, a.u.
150
100
50
0
0
20
40
60
80
100
time, s
Концентрация в произвольной точке x со временем возрастает,
достигает экстремума, а затем убывает

24. Частные случаи

• Ступенчатое распределение
0
( x )2
c0
d
c ( x, t )
exp
4 Dt
4 Dt
c0
x
1 erf
2
4 Dt
c0
x
c( x, t ) erfc
2
4 Dt

25. Частные случаи

• Ступенчатое распределение
D = 1,
time:
1.0
1/64
1/32
1/16
1/8
1/4
1/2
1
2
4
8
16
0.8
c/c0
0.6
0.4
0.2
0.0
-4
-2
0
x/h
2
4
c ( x, t )
c0
x
erfc
2
4 Dt

26. Частные случаи

• Ступенчатое распределение
350
300
c, a.u.
250
x = 5, D = 1
200
150
100
50
0
0
20
40
60
80
100
time, s
Концентрация в произвольной точке x со временем возрастает
и в пределе стремится к значению c0/2

27. Диффузия в полуограниченном теле

Граница
Диффузия в полуограниченном теле
0
( x) 2
( x) 2
1
c ( x, t )
c1 ( ,0) exp
d c( ,0) exp
d
4
Dt
4
Dt
4 Dt
0
( x) 2
( x) 2
1
c ( x, t )
c( ,0) exp
c1 ( ,0) exp
d
4
Dt
4
Dt
4 Dt 0
c1 ( ,0) ?
Неизвестная функция должна быть определена из граничных условий

28. Диффузия в полуограниченном теле

• Непроницаемая граница:
c
j (0, t ) D
0
x x 0
( x) 2
( x) 2
c
1
( x)c( ,0) exp
( x)c1 ( ,0) exp
d
x 2 Dt 4 Dt 0
4 Dt
4 Dt
2
c
1
c( ,0) c1 ( ,0) exp
d 0
x x 0 2 Dt 4 Dt 0
4 Dt
c1 ( ,0) c( ,0)
c ( x, t )
( x) 2
( x) 2
1
c( ,0) exp
exp
d
4 Dt
4 Dt
4 Dt 0

29. Диффузия в полуограниченном теле

c(0, t ) c x 0 0
• десорбция:
• (поглощающая граница)
2
1
c( ,0) c1 ( ,0) exp d 0
c(0, t )
4 Dt 0
4 Dt
c1 ( ,0) c( ,0)
c(0, t )
( x) 2
( x) 2
1
exp
d
c( ,0) exp
4 Dt
4 Dt
4 Dt 0

30. Диффузия в полуограниченном теле

• Десорбция
• равномерное начальное
распределение
c( x,0) const c0
( x) 2
( x) 2
c0
exp
d
c ( x, t )
exp
4 Dt
4 Dt
4 Dt 0
c0
2
2
exp( z )dz exp( z )dz
x
x
4 Dt
4 Dt
c( x, t ) c0erf
x
4 Dt

31. Диффузия в полуограниченном теле

• Десорбция, равномерное начальное распределение
1.0
c, a.u.
0.8
D = 1, time:
1/16
1/8
1/4
1/2
1
2
4
8
16
0.6
0.4
0.2
0.0
0
2
4
6
x, cm
8
10

32. Диффузия в полуограниченном теле

• Десорбция, равномерное начальное распределение

33. Диффузия в полуограниченном теле

• Десорбция, равномерное начальное распределение
• Поток:
x2
Dc0
c
D
c0
j ( x, t ) x 0 D
exp
x x 0
t
Dt
4 Dt x 0
• Число частиц, покинувших тело:
t
N (t ) j ( x, t )
0
dt c0
x 0
4 Dt
English     Русский Rules