Законы распределения ДСВ и их характеристики. Лекция 6

1.

Лекция 6. Законы
распределения
ДСВ и их
характеристики

2.

Равномерный закон распределения
Равномерное распределение задаётся следующим
законом:
Этот закон имеет место в случае, когда n возможных
исходов испытания равновероятны.
Пример целочисленной случайной величины,
распределённой по равномерному закону - число
очков, выпадающих при бросании симметричной
кости (любое из значений выпадает с одинаковой
вероятностью ).

3.

Числовые характеристики равномерного закона
распределения:
x
1
2
3
…
p
1/n
1/n
1/n
n
1/n
∑1/n=1
1 1 1 n
1 n
M (X) xi pi i
n
.
n 2
2
i 1
i 1 n
n
n
i 1 n 1
1 n
2
D(X) M ( X ) M (X)
i
.
2 n i 1
2
i 1 n
n
2
2
2
2
n
2
n 1 2n 1 n 2 2n 1
6
4

4.

Биномиальное распределение.
Рассмотрим схему независимых испытаний
и найдем закон распределения случайной
величины Х – числа появлений события А в
серии из n испытаний.
Возможные значения А: 0, 1, …, n.
Соответствующие им вероятности можно
вычислить по формуле Бернулли:
p( Х k ) C nk p k q n k
( p – вероятность появления А в каждом
испытании).

5.

Биномиальное распределение.
p( Х k ) C nk p k q n k
Cnn p n Cnn 1 p n 1q ... Cnk p k q n k ... Cn0 q n ( p q ) n 1.

6.

Числовые характеристики биномиального
распределения:
M (X) np, D(X) npq.

7.

Пример. Составим ряд распределения
случайной величины Х – числа попаданий при
5 выстрелах, если вероятность попадания при
одном выстреле равна 0,8.
р(Х=0) = 1·(0,2)5 = 0,00032;
р(Х=1) = 5·0,8·(0,2)4 = 0,0064;
р(Х=2) = 10·(0,8)2·(0,2)3 = 0,0512;
р(Х=3) = 10·(0,8)3·(0,2)2 = 0,2048;
р(Х=4) = 5·(0,8)4·0,2 = 0,4096;
р(Х=5) = 1·(0,8)5 = 0,32768.

8.

Пример
1·(0,2)5 +5·0,8·(0,2)4 +10·(0,8)2·(0,2)3 +
+10·(0,8)3·(0,2)2 +5·(0,8)4·0,2 +1·(0,8)5 =
= (0,2+0,8)5 =1
Таким образом, ряд распределения имеет вид:
х
0
1
2
3
4
5
р
0.00032
0.0064
0.0512
0.2048
0.4096
0.32728
M (X) np 5 0,8 4
D(X) npq 5 0,8 0,2 0,8

9.

Распределение Пуассона.
Рассмотрим дискретную случайную величину Х,
принимающую только целые неотрицательные значения
(0, 1, 2,…, т,…), последовательность которых не
ограничена.
Такая случайная величина называется
распределенной по закону Пуассона, если вероятность
того, что она примет значение т, выражается формулой:
ат а
р( Х т)
е
т!
где а – некоторая положительная величина, называемая
параметром закона Пуассона.

10.

Покажем, что сумма всех вероятностей равна 1:
ат
а
т 0
т 0
р ( Х т) е
т!
е а е а 1
n
x
/e /
n 1 n !
x
использовали разложение в ряд Тейлора
Рассмотрим типичную задачу, приводящую к
распределению Пуассона.

11.

Пусть на оси абсцисс случайным образом
распределяются точки.
Тогда случайная величина Х – число точек,
попадающих на отрезок длины l – распределена по
закону Пуассона, где а – среднее число точек,
приходящееся на отрезок длины l.
Закон Пуассона характеризует число событий в
единицу времени событий, которые могут произойти в
любой момент времени.
Параметр распределения Пуассона называют еще
средней интенсивностью события.

12.

Распределение точек должно удовлетворять
следующим условиям:
1) вероятность попадания некоторого количества
точек на отрезок длины l зависит только от длины
отрезка и не зависит от его расположения на оси ( то
есть точки распределены с одинаковой средней
плотностью);
2) точки распределяются независимо друг от друга
(вероятность попадания какого-либо числа точек на
данный отрезок не зависит от количества точек,
попавший на любой другой отрезок);
3) практическая невозможность совпадения двух или
более точек.

13.

Замечание. Формула Пуассона выражает биномиальное
распределение при большом числе опытов и малой
вероятности события.
Поэтому закон Пуассона часто называют законом
редких явлений.
Многоугольники распределения Пуассона,
соответствующие различным значениям параметра λ.

14.

Математическое ожидание и дисперсия случайной
величины, распределенной по закону Пуассона,
совпадают, и равны параметру этого распределения!
Примерами ситуаций, в которых возникает
распределение Пуассона, могут служить
распределение:
- числа определенных микробов в единице объема,
- числа вылетевших электронов с накаленного катода
за единицу времени, числа α-частиц, испускаемых
радиоактивным источником за определенный
промежуток времени.

15.

К случайным величинам, подчинённым закону
Пуассона, приводит большое количество задач,
относящих к вопросам массового обслуживания.
В качестве примера рассмотрим работу телефонной
станции.
Можно доказать, что при выполнении некоторых
условий вероятность k вызовов за промежуток времени
t определяется формулой
где X - количество вызовов.
Если положить
то последняя формула
означает, что случайная величина распределена по
закону Пуассона.

16.

Пример. На факультете насчитывается 500 студентов.
Какова вероятность того, что первое сентября является
днём рождения одновременно для студентов данного
факультета? Вычислить указанную вероятность для
значений k=0,1,2,3.
Решение. Так как n=500 и вероятность родиться
первого сентября любому из студентов факультета равна
1/365, то можно считать, что случайное число студентов
родившихся первого сентября, подчиняется закону
распределения Пуассона с параметром
λ=np=500/365≈1,36986.
Поэтому, по формуле распределения Пуассона, имеем

17.

Далее рекуррентно находим

18.

Геометрический закон распределения
Последовательно проводится несколько независимых
испытаний до появления некоторого события A,
вероятность которого в каждом испытании одна и та же
и равна p.
Тогда число произведённых испытаний есть ДСВ X с
геометрическим распределением вероятности.
Примером может служить стрельба по некоторой
цели до первого попадания, причём вероятность
попадания при каждом выстреле не зависит от
результатов предыдущих выстрелов и сохраняет
постоянное значение . СВ Х - число произведённых
выстрелов со значениями в N.

19.

Геометрический закон распределения задаётся
формулой
где
(X число выстрелов до первого попадания.)
Основные характеристики геометрического закона
распределения:

20.

Гипергеометрический закон распределения
Случайная величина имеет гипергеометрическое
распределение с параметрами n1,n2 и n ≤ n1+n2
(n1,n2, n — натуральные числа), если она принимает
конечное множество натуральных значений
соответственно с
вероятностями

21.

Таким образом, это распределение описывает осуществление признака в выборке
без возврата (в отличие от биномиального распределения). На практике к
гипергеометрическому распределению приводят задачи, где изделия из партии
отбирают случайно (обеспечивая для каждого изделия равную возможность быть
отобранным), но отобранные изделия не возвращают в партию.
Такой отбор особенно важен в тех задачах, где проверка изделия связана с его
разрушением (например, проверка изделия на срок службы).

22.

Числовые характеристики гипергеометрического
распределения (математическое ожидание и дисперсия):
Следует заметить, что если n1+n2 очень велико по
сравнению с n, то не имеет существенного значения,
возвращаются шары обратно или нет, и
гипергеометрическое распределение может быть
приближённо заменено на биномиальное.

23.

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!