1.75M

Category: $mathematics$ mathematics

Прикладные задачи нелинейной динамики. Условия возникновения диссипативных структур. Неустойчивость Тьюринга

1.

Центр дистанционного обучения
Прикладные задачи
нелинейной динамики
ФИО преподавателя: Е.Н.Пронина
e-mail: pvi173@rambler.ru
Online-edu.mirea.ru
mirea.ru

2.

Центр дистанционного обучения
Лекция № 15.
Условия возникновения диссипативных
структур. Неустойчивость Тьюринга.
mirea.ru

Список литературы:
Центр дистанционного обучения
• Ризниченко Г.Ю. Математические модели в биологии. Учебное
пособие биологического факультета МГУ:
http://mathbio.ru/lectures/
• Неустойчивость Тьюринга, сайт Калтехаhttp://www.cmp.caltech.edu/~mcc/BNU/Notes7_2.pdf
• Распределенная модель брюсселятора. – Электронный ресурс:
Режим доступа:
https://mathit.petrsu.ru/users/semenova/Nonlinear_Dynamics/ND_20
17_PMI.html от 05.05.2019
• J.L.Guiňon and E.Ortega. Simulation of the Turing Patterns in the
Brusselator model with MathCAD.// Univeridad Politecanica De
Valencia. // https://www.youtube.com/wanch
mirea.ru

4.

Центр дистанционного обучения
А.М.Тьюринг "Химические основы морфогенеза " (1952)
Если химическая реакция с диффузией протекает в однородной
среде и продукты реакции остаются в том же объёме, то они
постепенно распределяются в нём равномерно, и это
распределение является стабильным.
Когда же продукты реакции могут уходить (диффундировать) в
окружающее пространство, то в случае недостаточной для
эффективного
перемешивания
скорости
первоначально
однородная среда становится неравновесной, и в ней может
установиться периодическое в пространстве и стационарное
во времени распределение концентраций - чередующиеся
сгущения и разрежения продуктов реакции.
mirea.ru

5.

Центр дистанционного обучения
Чередования сгущений и разрежений называют «узоры
Тьюринга», а механизм их образования «pattern formation».
Неустойчивость однородного состояния
тьюринговой неустойчивости.
носит
название
Структура Тьюринга − стационарная двумерная структура
нелинейной динамики, возникающая вследствие волновых
свойств реакционно-диффузионных систем.
Три базовых вида структур Тьюринга: гексагональные пятна,
полосы, структуры типа пчелиных сот.
mirea.ru

6.

Центр дистанционного обучения
Система уравнений в частных производных
реакция-диффузия
x
2 x
t P( x, y, r ) Dx r 2
(1)
2
y
Q ( x, y , r ) D y
y
t
r 2
Модель химической реакции в
распределенной системе:
два вещества c концентрациями x и y.
r - пространственная переменная,
t- время,
D – коэффициенты диффузии,
P и Q –известные функции
x
x
y
y
(2)
0
r r 0 r r L r r 0 r r L
Краевые условия
непроницаемости
реактора.
–
условия
торцов
mirea.ru

7.

Центр дистанционного обучения
Пространственно однородное
стационарное состояние:
(гомогенное)
состояние, при котором значения переменных не
меняются со временем и одинаковы в
каждой
точке пространства.
mirea.ru

8.

x x, y y
Центр дистанционного обучения
Точечная система
Исследование
устойчивости
распределенной
и точечной
системы:
dx
P ( x, y )
dt
dy Q ( x, y ) (3)
dt
Рассмотрим
состояние системы
такое что:
dx dy
0
dt dt x , y
Распределенная система
x
2 x
P ( x , y , r ) Dx 2
t
r
2
y Q ( x, y , r ) D y
y
r 2
t
(3′)
Рассмотрим
пространственно
однородное
стационарное
стационарное
решение системы x x, y y
,
x x, y y
такое, что:
(4)
x y x y
0
t t r r x , y
(4′)
P(x,y,r) = 0, Q(x,y,r) = 0
mirea.ru

9.

Центр дистанционного обучения
Стационарное состояние
Пространственно однородное
устойчиво, если малые отклонения стационарное состояние устойчиво,
не выводят систему слишком далеко если малые отклонения (в том числе и
из окрестности этого состояния.
распределенные в пространстве) не
выводят систему слишком далеко из
окрестности
этого состояния.
Пусть ξ(t) и η(t) – малые отклонения
от стационарных решений
Пусть ξ(t,r) и η(t,r) – малые
отклонения от пространственно
однородных стационарных решений
mirea.ru

10.

Центр дистанционного обучения
Для ξ и η можно записать
линеаризованную систему:
d
a b
dt
d c d
dt
(5)
Для ξ и η можно записать
распределенную линеаризованную
систему:
2
t a b D r 2
2
(5′)
d c d D
dt
r 2
Dξ =Dx ,
a
Dη =Dy
P( x, y )
P( x, y )
Q( x, y )
Q( x, y )
,b
,c
,d
x
y
x
y
(6)
mirea.ru

11.

Центр дистанционного обучения
Решение будем искать в виде:
Решение будем искать в виде:
ξ(t)=Aeλt
η(t)=Beλt
ξ(t, r)=Aept+ikr
η(t,r)=Bept+ikr
(7′)
ept характеризует поведение
Множитель
отклонения от стационарного состояния во
времени.
Множитель eikr - отклонение переменных
от однородного
стационарного
λt
Множитель e
характеризует состояния
в
точке
с
поведение отклонения от
координатой r для собственных функций,
соответствующих
волновому
числу
k.
стационарного состояния во времени.
Для
трубки
длиной
l
волновое число принимает дискретные
значения: k k 2 n
.
n
l
mirea.ru
(7)

12.

Центр дистанционного обучения
Подстановка выражений (7) в (5)
после сокращения на eλt дает
A aA bB,
B cA dB,
или
( a ) A bB 0,
cA ( d ) B 0.
(8)
(9)
Подстановка выражений (7′) в (5′)
после сокращения на ept· eikr дает
2
pA
aA
bB
k
D A,
2
pB
cA
dB
k
D B,
или
2
(
p
a
k
D ) A bB 0,
2
cA
(
p
d
k
D )B 0.
(8 )
(9 )
mirea.ru

13.

Центр дистанционного обучения
( a ) A bB 0,
cA ( d )B 0.
2
( p a k D ) A bB 0,
2
cA ( p d k D ) B 0.
(9)
(9 )
Величины A, B тождественно не равны нулю тогда и только тогда, когда
определитель систем (9) и (9′) равен нулю:
( a)( d ) bc 0,
Характеристическое уравнение:
2 0, где
a d,
ad bc.
( p a k 2 D )( p d k 2 D ) bс 0
Дисперсионное уравнение:
p 2 1 p 1 0, где
1 a d k 2 ( D D ),
1 k 4 D D k 2 (aD dD ) ad bc.
mirea.ru

14.

s
s2
l 1,2 = ±
- D
2
4
Бифуркационная диаграмма 1
Центр
дистанционного
обучения
1 2
1
(s ) 1
s
p1,2 =
±
- D
2
4
Бифуркационная диаграмма 2
mirea.ru

15.

Центр дистанционного обучения
НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ТЬЮРИНГА
Условия возникновения диффузионной
неустойчивости
(обусловленной только процессами диффузии):
mirea.ru

16.

Центр дистанционного обучения
Однородное стационарное состояние x x, y y ,
будет устойчивым по отношению к малым однородным
возмущениям (когда нет возмущения по пространству и точечная
система устойчива)
и не устойчиво по отношению к малым пространственно
неоднородным возмущениям, когда:
1) σ < 0, ∆>0 (условие устойчивости в точечной
системе),
2) σ1 > 0, (1-е условие неустойчивости в распределенной
системе), либо
3)∆1 < 0 (2-е условие неустойчивости в распределенной
системе).
mirea.ru

17.

Центр дистанционного обучения
При
положительных
диффузии (Dx>0, Dy>0) и σ<0
коэффициентах
выражение
σ1 =a + d − k2(Dx+ Dy)< 0,
т.к. σ = a+d < 0, то есть первое условие неустойчивости в
распределенной системе не выполняется.
Следовательно, для возникновения неустойчивости в
распределенной системе необходимо выполнение второго
неравенства: ∆1 < 0 (седловая неустойчивость).
mirea.ru

18.

Центр дистанционного обучения
Для возникновения диффузионной
неустойчивости (неустойчивости Тьюринга)
необходимо одновременное выполнение следующих
условий:
1) a d 0,
2) ad bc 0,
( 0)
( 0)
3) =k Dx D y k ( aDy dDx ) ad bc 0
1
4
2
mirea.ru

19.

Центр дистанционного обучения
Понятие активатора и ингибитора
k Dx Dy k ( aDy dDx ) ad bc 0
1
4
2
0
0
k 2 ( aD y dDx ) 0 ( aD y dDx ) 0
aD y dDx 0
а положительный,
a d 0
d – отрицательный или наоборот
mirea.ru

20.

Центр дистанционного обучения
Пусть a >0, а d <0.
Вещество x − активатор (a·x автокаталитический член),
вещество y – ингибитор.
Коэффициент
a должен быть по модулю меньше,
чем
коэффициент d,
|a|<|d|
иначе условие
1) a+d<0
не будет выполняться
mirea.ru

21.

Центр дистанционного обучения
( aD y dDx ) 0 Dx ( a
Dy
Dx
d) 0
Если a 0, d 0, и a d 0, то
Dy
Dy
(a
d ) 0, только когда
1
Dx
Dx
или D y Dx
mirea.ru

22.

Центр дистанционного обучения
Необходимым (но не достаточным) условием
возникновения диффузионной неустойчивости
является выполнение следующих требований:
1) коэффициенты a и d должны быть разных знаков;
2) коэффициент диффузии активатора меньше коэффициента
диффузии ингибитора; Dy Dx
при равных коэффициентах диффузии
диффузионная неустойчивость возникнуть не
может!
mirea.ru

23.

Центр дистанционного обучения
СООТНОШЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ДИФФУЗИИ
ПРИ ВОЗНИКНОВЕНИИ ДИССИПАТИВНЫХ
СТРУКТУР:
f (k 2 ) k 4 Dx Dy k 2 (aDy dDx ) 0
dis aDy dDx 4Dx D y , где ad bc
2
mirea.ru

24.

Центр дистанционного обучения
mirea.ru

25.

Центр дистанционного
обучения
Критическое соотношение коэффициентов
D:
aD dD 4D D 0
2
dis 0 :
y
Обозначим : Dкр
x
Dy
Dx
x
y
, тогда
2
2
2
aD
d
4
D
0
или
a
D
2(
ad
2
)
D
d
0
кр кр
кр
кр
2
2 ad 2 ad
Dкр ,1
,
2
a
2 ad 2 ad
Dкр ,2
.
2
a
kкр2 >0 только при Dкр,1.
mirea.ru

26.

Центр дистанционного обучения
Для возникновения диффузионной неустойчивости,
.
необходимо выполнение следующих
условий:
1) a+d < 0 , a >0, d <0
(либо a <0, d >0 ),
2) ad −bc > 0 ,
3) отношение коэффициента диффузии ингибитора к
коэффициенту диффузии активатора должно быть больше, чем
Dкр
2 ad 2 ad
a2
Волновое число находим из решения квадратного уравнения 1 0
k
2
кр
aDкр d
2 Dx Dкр
kкр
Число волн на отрезке единичной длины 2
mirea.ru

27.

Центр дистанционного обучения
Выводы
Если один из компонентов химической реакции
(ингибитор) диффундирует значительно быстрее, чем другой
(активатор), то в нелинейной диссипативной системе
возможно возникновение неоднородных стационарных
пространственных структур.
Этот результат является далеко не тривиальным, так как
обычно считается, что диффузия выравнивает разницу
концентраций, а не производит ее: пространственно
однородное состояние, устойчивое в отсутствие диффузии,
становится неустойчивым при ее учете.
mirea.ru

28.

Центр дистанционного обучения
Распределенный брюсселятор
(система реакция-диффузия):
x
2 x
2
t A x y ( B 1) x Dx r 2
2
y
Bx x 2 y D y
y
t
r 2
Dкр
Dy
Dx
A2
B 1
2
B 1
k
2
кр
Dx
kкр 1
n
2 2
B 1
Dx
mirea.ru

29.

Центр дистанционного обучения
Петрозаводский государственный университет.
Кафедра прикладной математики и кибернетики.
Дисциплина: Математические модели нелинейной динамики.
Доцент Семенова Е.Е.
Электронный ресурс:
https://
math-it.petrsu.ru/users/semenova/Nonlinear_Dynamics/ND_2017_PMI.html
mirea.ru