Эллипс

1.

ЭЛЛИПС
Эллипс есть множество точек, сумма расстояний которых от двух
фиксированных точек, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная
(2а), большая, чем расстояние между фокусами (2с).
Простейшее уравнение эллипса получается, если расположить координатную систему
следующим образом: за ось Ox принять прямую, проходящую через фокусы
F1 и F2 (рис. 2).
y
Тогда уравнение эллипса примет вид:
x2 y2
2 1,
2
a
b
B2
(1)
где b 2 a 2 c 2 .
Точки A1 и A2 , B1 и B2 пересечения эллипса с его
a
b
A1
F1
0
c
осями симметрии (координатными осями) называются
B
вершинами эллипса. Отрезки A1 A2 и B1 B2
длины которых соответственно равны 2а и 2b, называются
осями эллипса, причем A1 A2 – большой осью, а
B1B2 – малой осью, так как а > b. Таким образом, параметры а и b,
входящие в уравнение эллипса, равны его полуосям.
1
A2
F2
x
Рис. 2

2.

Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между
фокусами к его большой оси, т.е.
е = с/а.
(2)
Очевидно, что е < 1.
Если эллипс, определяемый уравнением вида (1), расположен так, что его фокусы
y
лежат на оси Оу (рис. 3)
B
то тогда b > а и большой осью служит отрезок
длиной 2b, а малой осью –
B1B2
F
отрезок
длиной 2а.
2
A1 A2
Эксцентриситет такого эллипса вычисляется по
формуле
(2' )
е = с/b,
где c b2 a 2
2
c
a
A1
0
A2
x
b
F1
B1
Рис. 3

3.

Задание 1. Найти оси, вершины, фокусы и эксцентриситет эллипса
9x 2 25 y 2 255 0.
Решение. Приведем данное уравнение к простейшему виду (1), для чего
свободный член перенесем вправо и разделим на него все члены
уравнения. В результате получим
x2 y2
1,
25 9
или
x2 y2
2 1.
2
5
3
Сравнивая полученное уравнение с уравнением (1), имеем а = 5, b = 3.
Отсюда находим оси эллипса 2а = 10, 2b = 6 и координаты вершин A1 ( 5;0),
A2 (5;0), B1 (0; 3), B2 (0;3).
2
2
Далее находим c a b 25 9 4.
Следовательно, фокусами эллипса служат точки F1 ( 4;0) и F2 (4;0).
Эксцентриситет эллипса вычисляем по формуле (2): е = с/а = 4/5.

4.

Задание 2. Показать, что уравнение 5 x 2 9 y 2 30 x 18 y 9 0
Представляет собой уравнение эллипса. Найти центр, оси, вершины, фокусы
и эксцентриситет этого эллипса.
Решение. Приведем данное уравнение к простейшему виду. Для этого
сгруппируем отдельно члены, содержащие переменные x и у:
(5 x 2 30 x) (9 y 2 18 y) 9 0.
В каждой из скобок вынесем коэффициент при квадрате переменной, а затем
выделим полный квадрат:
9 y 18 y 9 ( y 2 y 1) 1 9( y 1) 9.
5x 2 30 x 5 ( x 2 2 3x 9) 9 5( x 3) 2 45;
2
2
2
Данное уравнение преобразуем теперь к виду
5( x 3) 2 9( y 1) 2 45 9 9 0, или 5( x 3) 2 9( y 1) 2 45,
( x 3) 2 ( y 1) 2
откуда
1.
9
5
Введем обозначения x x 3, y y 1.
Произведенную замену переменных будем рассматривать как преобразование
декартовых координат x, у в координаты x’, y’, при параллельном сдвиге
координатных осей, причем новое начало координат находится в точке O’ (3; –1). В
'2
'2
этой системе координат уравнение эллипса xимеет
yвид:
'
'
9
5
1.