Similar presentations:
Общие сведения о кривых линиях и поверхностях
1.
ОБЩИЕСВЕДЕНИЯ О
КРИВЫХ ЛИНИЯХ
И ПОВЕРХНОСТЯХ
2.
Кривая линия - совокупность последовательныхположений движущейся точки, а также как линия
пересечения поверхностей.
Закономерная кривая – если при своем
образовании она подчинена какому-либо
геометрическому закону.
Если этот закон можно описать алгебраическим
уравнением, то кривая называется алгебраической, в
противном случае – трансцендентной.
Алгебраические кривые определяются своим
порядком – количеством пересечений с прямой.
3.
Кривую линию называют плоской, если всеточки линии лежат в одной плоскости, и
пространственной, если точки не
принадлежат одной плоскости.
Примеры плоских кривых линий — окружность,
эллипс, парабола, гипербола.
Примеры пространственных кривых — винтовая
линия, линия пересечения боковых поверхностей
прямых круговых цилиндра и конуса, оси которых не
пересекаются.
4.
Свойства проецирования кривых• Проекция кривой n-го порядка
является кривой порядка не выше n.
• Касательная к кривой в общем случае
проецируется в виде касательной к
проекции кривой.
• Особые точки плоской кривой в общем
случае проецируются в особые точки
ее проекции.
5.
Поверхность– это совокупность всех
последовательных положений
некоторой перемещающейся в
пространстве линии
6.
Способы образования и заданияповерхностей.
Каркас поверхности.
Определитель поверхности
7.
Существуют три способа задания поверхностей:1. Аналитический - при помощи уравнений;
2. При помощи каркаса (Каркас поверхности это упорядоченное множество точек или
линий, принадлежащих поверхности);
3. Кинематический, т. е. перемещением линий
в пространстве.
8.
В начертательной геометрии поверхность задаюткинематически - как множество всех положений
перемещающейся по определенному закону линии
в пространстве.
Движущаяся в процессе образования
поверхности линия называется
образующей
Линия, по которой скользит образующая,
называется направляющей
9.
l n-kl
l
n
m
l
n
C
10.
Совокупность намеченных на поверхностиобразующих и направляющих линий
называется линейным каркасом
поверхности
11.
ΣΦ
l
l
n
m
12.
Совокупность точек на поверхности,выбранных таким образом, чтобы,
ориентируясь по ним, можно достаточно
полно представить форму поверхности,
называется точечным каркасом
поверхности
13.
Φl
m
14.
Одна и та же поверхность может быть образована различнымиспособами
i
l
i
l
c
цилиндр образован вращением прямой образующей L
вокруг неподвижной оси i
образующая - окружность с центром на оси цилиндра
15.
Совокупность независимых условий,однозначно задающих поверхность,
называется её
определителем
Ф(Г)[A]
Г – геометрическая часть
А – алгоритмическая часть
Геометрическая часть - совокупность геометрических фигур,
с помощью которых можно образовать поверхность.
Алгоритмическая часть - алгоритм формирования
поверхности при помощи фигур, входящих в
геометрическую часть определителя.
16.
а)б)
l
S
S∞
l
m
Ф(l,m)[A]
m
Ф(l,m)[A]
17.
Очерк поверхностипри ортогональном проецировании – это
линия, ограничивающая проекцию
поверхности на плоскостях проекций
18.
Фронтальный очеркП2
х
П1
Горизонтальный очерк
19.
Очерк проекции поверхности является проекциейсоответствующей линии видимого контура.
Линия видимого контура поверхности разделяет ее на
две части − видимую, обращенную к наблюдателю, и
невидимую. Никакая точка поверхности не может
спроецироваться за пределы очерка.
20.
Классификацияповерхностей
21.
1. По виду образующей все поверхности можноразделить на
линейчатые
и
нелинейчатые
У линейчатых поверхностей образующей является
прямая линия,
у нелинейчатых – кривая линия
22.
2. Поверхности закономерные инезакономерные.
Если образующая поверхности движется по
определенному закону, то поверхность называется
закономерной или правильной, в противном
случае поверхность называется незакономерной.
23.
3. Поверхности развертывающиеся инеразвертывающиеся.
Развертывающиеся поверхности – поверхности,
которые после разреза их по образующей могут быть
односторонне совмещены с плоскостью без наличия
разрывов и складок.
Неразвертывающиеся поверхности – поверхности,
которые не могут быть совмещены с плоскостью без
наличия разрывов и складок.
24.
4. Поверхности с образующей постоянной ипеременной формой.
25.
5. Поверхности с поступательным,вращательным или винтовым движением
образующей.
26.
Линейчатыеповерхности
27.
Рассмотрим основныевиды линейчатых
поверхностей
28.
ГРАННЫЕ ПОВЕРХНОСТИl
S- вершина
Ребро
l
А
Грань
m
В
С
А
В m С
29.
Гранные – поверхности, образованныеперемещением прямолинейной образующей
по ломанной линии.
Отсеки плоскостей, образующие
многогранную поверхность, называются
гранями, линии пересечения смежных граней
- ребрами, точки пересечения не менее чем
трех граней - вершинами.
30.
Пирамидальнаяповерхность
Призматическая
поверхность
S
А
l
А
l
s
m
m
Линейчатая
поверхность,
образованная перемещением
прямой линии, проходящей
через фиксированную точку S
(вершину),
по
ломанной
направляющей m
Линейчатая поверхность, образованная
перемещением прямой линии,
движущейся параллельно некоторому
заданному направлению s и
пересекающей направляющую m, которая
представляет собой ломаную линию.
31.
Коническая поверхность –поверхность, образованная вращениемпрямолинейной образующей вокруг оси, при
этом, образующая пересекает ось в собственной
точке.
Цилиндрическая поверхность
S
l
поверхность, образованная движением прямолинейной
образующей по кривой направляющей m, при этом
образующая l во всех положениях параллельна
некоторому заданному направлению.
А
l
А
s
m
m
32.
Точка принадлежит поверхности,если она лежит на какой – нибудь
линии этой поверхности
Линия
принадлежит поверхности,
если все ее точки принадлежат этой
поверхности
33.
S2А2
М2
m2
m1
М1
А1
S1
34.
Алгоритмпостроения недостающей проекции точки,
принадлежащей линейчатой поверхности
1. Через заданную проекцию точки, лежащей на
поверхности, проводится проекция простейшей линии,
принадлежащей этой поверхности
2. Строится вторая проекция этой линии
из условия ее принадлежности данной поверхности
3. По линии проекционной связи на построенной
проекции линии находится искомая проекция заданной
точки
35.
S2S
Ф
l
l2
А
A2
m2
m
x
m1
l1
A1
S1
36.
s2s
l
l
2
A
Ф
2
m
A
2
x
m
m
A
s1
l1
1
1
37.
l2 S2S
Ф
l
A2
A
m
m2
x
m1
A1
l1
S
1
38.
SА
l
s2
Ф
2
l
m
A2
m2
x
m1
A1
s1
l
1
39.
Таким образом,через каждую точку линейчатой
поверхности можно всегда провести
прямую линию
40.
Поверхностивращения
41.
Поверхности вращения – поверхности,образованные вращением линии (образующей)
вокруг прямой – оси вращения.
Поверхности вращения могут быть
линейчатыми и нелинейчатыми.
У поверхности вращения
геометрическая часть определителя состоит из
образующей l и оси вращения i:
Ф (l,i)[A]
42.
Плоскости, перпендикулярные к осивращения, пересекают поверхность по
окружностям, которые называются
параллелями
Радиус каждой параллели измеряется
от оси до очерка
от оси до очерка !!!
43.
Наибольшую из параллелей называютэкватором,
наименьшую –
горлом
44.
Плоскость, проходящая через осьповерхности вращения, называется
меридиональной,
а линия пересечения поверхности с этой
плоскостью называется
меридианом поверхности.
Если эта плоскость параллельна фронтальной
плоскости проекций П2,
то в сечении получается меридиан, который
называется главным меридианом
45.
Поверхность вращенияi
ÏПараллель
àðàëëåëü
Горло
Ãî ðëî
Главный
меридиан
Ãë.
ì åðèäèàí
Экватор
Ýêâàòî
ð
Меридиан
Ì åðèäèàí
46.
Примеры поверхностейвращения
47.
iСфера
параллель
главный меридиан
l
A
меридианы
экватор
48.
Коническая поверхность вращенияS
i
А1
l
49.
Цилиндрическая поверхность вращенияi
l
А1
50.
R A2A1
51.
Алгоритмрешения задач на принадлежность точки поверхности
вращения
1. Через заданную проекцию точки проводят
проекцию вспомогательной параллели
2. Строят вторую проекцию этой параллели, измеряя ее радиус от
оси вращения до очерка поверхности
от оси до очерка !!!
3. По линии проекционной связи на построенной
проекции параллели находят недостающую проекцию
точки с учетом ее видимости
52.
Построение точкина поверхности
сферы
53.
А2(А3)
R
R
А1
54.
55.
Построение точкина поверхности прямого
кругового конуса
56.
S2А
А2
S1
А1
57.
А2(В2)
А
В1
А1
А3
В3
58.
Построение точкина поверхности прямого
кругового цилиндра
59.
АА2
А
(В2)
В1
А
1
(В3)
3
60.
Винтовые поверхности61.
Все точки винтовой поверхности совершаютвинтовые движения, описывая
винтовые линии – гелисы,
а поверхности называются
геликоидами
62.
Прямые геликоиды,если угол наклона образующей
равен 90
Наклонные - если угол
не равен 90
63.
а)x
б)
x
64.
Выводы:- поверхность может быть получена вращением некоторой
образующей вокруг оси или движением ее по направляющей
- поверхность может быть задана на чертеже проекциями элементов
геометрической части ее определителя или
для достижения большей наглядности – очерком
- поверхности могут быть систематизированы в зависимости от вида
образующих и направляющих, а также от закона движения образующих
- для нахождения недостающей проекции точки, лежащей на
поверхности, пользуются характерными для данной поверхности
простейшими линиями
65.
1. Пересечениеповерхности плоскостью
2. Конические сечения
66.
Характерные и случайные точки линиипересечения поверхностей
1. Характерные (или опорные). Точки, которые
выделяются среди множества других своим особым
положением на поверхностях и относительно плоскостей
проекций. Таких точек в каждой конкретной задаче всегда
конечное число.
2. Случайные (или промежуточные) – точки
расположенные между характерными точками.
При построении линии пересечения поверхностей сначала
определяют, если это возможно, характерные точки, а затем находят
промежуточные точки, количество и плотность которых зависит от
кривизны проекций линии пересечения, масштаба чертежа и
требуемой точности
67.
Конические сеченияпрямые
эллипс
гипербола
окружность
парабола
67
68.
Прямые, окружность, эллипс68
69.
Парабола69