Способы задания плоскости. Тема 4.6

1.

Пусть плоскость Р, проходит через заданную
точку
M 0 ( x0 , y0 , z0 )
и перпендикулярна вектору
n ( A, B, C )
Этот вектор называется нормальным вектором
плоскости Р.

2.

n
M 0 ( x0 , y0 , z0 )
P

3.

Выберем на плоскости произвольную точку M ( x, y, z )
Тогда
и
MM0 ( x x0 , y y0 , z z0 )
MM 0 n
Тогда скалярное произведение этих векторов
должно быть равно нулю:
(MM0 , n) 0
Распишем его в координатах:
(MM0 , n) A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) 0

4.

A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) 0
1

5.

Раскроем скобки в уравнении (1):
Ax Ax0 By By0 Cz Cz 0 0
Обозначим:
Ax0 By0 Cz 0 D

6.

Ax By Cz D 0
2

7.

Пусть плоскость Р отсекает на осях координат
отрезки, равные соответственно a,b,c.
z
c
b
a
x
y

8.

x y z
1
a b c
3

9.

Пусть задана плоскость, проходящая через три
точки:
M 1 ( x1 , y1 , z1 )
M 2 ( x2 , y2 , z2 )
Тогда уравнение этой
записать
в
виде
определителя:
M 3 ( x3 , y3 , z3 )
плоскости
равенства
можно
нулю

10.

x x1 y y1 z z1
x2 x1 y2 y1 z2 z1 0
x3 x1 y3 y1 z3 z1
4

11.

Пусть
даны две плоскости с нормальными
векторами
n1 ( A1 , B1 , C1 )
n2 ( A2 , B2 , C2 )
Условия параллельности и перпендикулярности
плоскостей
определяются
условиями
коллинеарности и перпендикулярности их
нормальных векторов:
n1 || n2

12.

A1 B1 C1
A2 B2 C2

13.

A1 A2 B1 B2 C1C2 0

14.

Пусть дана точка
M 0 ( x0 , y0 , z0 )
И плоскость
Ax By Cz D 0
Тогда расстояние от точки
определяется по формуле:
до
плоскости

15.

d
Ax0 By0 Cz0 D
A B C
2
2
2