Все аксиомы и теоремы стереометрии

1. Все аксиомы и теоремы стереометрии

2. Содержание:

Аксиомы стереометрии и их
простейшие следствия
Параллельность прямых и плоскостей
Перпендикулярность прямых и
плоскостей

3.

С1. Какова бы ни была плоскость, существуют точки,
принадлежащие этой плоскости, и точки, не
принадлежащие ей.
С2. Если две различные плоскости имеют общую
точку, то они пересекаются по прямой, проходящей
через эту точку.
С3. Если две различные прямые имеют общую
точку, то через них можно провести плоскость, и
притом только одну.

4.

Теорема 15.1:
Через прямую и не лежащую на ней точку
можно провести плоскость, и притом только одну.
Теорема 15.2:
Если две точки прямой принадлежат
плоскости, то вся прямая принадлежит этой
плоскости.
Теорема 15.3:
Через три точки, не лежащие на одной
прямой, можно провести плоскость, и притом
только одну.

5.

Теорема 16.1:
Через точку вне данной прямой можно провести прямую,
параллельную этой прямой, и притом только одну.
Теорема 16.2:
Две прямые, параллельные третьей прямой,
параллельны
Теорема 16.3:
Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна
какой - нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и
самой плоскости.
Теорема 16.4:
Если две пересекающиеся прямые одной плоскости
соответственно параллельны двум прямым другой
плоскости, то эти плоскости параллельны.
Теорема 16.5:
Через точку вне данной плоскости можно провести

6.

Теорема 17.1:
Если две пересекающиеся прямые параллельны соответственно
двум перпендикулярным прямым, то они тоже перпендикулярны.
Теорема 17.2:
Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым,
лежащим в плоскости, то она перпендикулярна данной плоскости.
Теорема 17.3:
Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных
прямых, то она перпендикулярна и другой.
Теорема 17.4:
Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости,
параллельны.
Теорема 17.5:
Если прямая, проведённая на плоскости через основание
наклонной, перпендикулярна её проекции, то она перпендикулярна
наклонной.
Теорема 17.6:
Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную
другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

7.

С1. Какова бы ни была плоскость, существуют точки,
принадлежащие этой плоскости, и точки, не
принадлежащие ей.
F
M
A
E
B
D
C
Точки M , F , E
Точки A, B, C , D

8.

С2. Если две различные плоскости имеют общую
точку, то они пересекаются по прямой, проходящей
через эту точку.
m. A ,
a
A
m. A ,
a,
m. A a

9.

С3. Если две различные прямые имеют общую
точку, то через них можно провести плоскость, и
притом только одну.
b
a
A
a b m. A
a , b ,
!

10.

Теорема 15.1: Через прямую и не лежащую на ней точку
можно провести плоскость, и притом только одну.
• Дано: прямая а, m.A a
A
• Доказать:
, такая, что m. A , a ;
пл. единственная !
a
• Доказательство:
1)Возьмём
m.B a
(по I)
2) Проведём прямую АВ, AB a m.B
3)Через прямые АВ и а
проведём плоскость
4)
- ! (по С )
3
Теорема доказана.
B

11.

Теорема 15.2: Если две точки прямой принадлежат
плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости.
•Дано: прямая a , плоскость
m. A, B a
m. A, B
.
•Доказать:
a
B
a
A

12.

Теорема 15.2
•Доказательство:
1) Возьмём m.C
2) Через прямую a и m.C
проведём плоскость
(по Теореме 15.1)
3)
m. A ,
a
m.B ,
И значит, a .
Теорема доказана.
C
B
a
A

13.

Следствие из Теоремы 15.2:
Плоскость и не лежащая на ней прямая либо не
пересекаются, либо пересекаются в одной точке.
a
a
A
a 0
a m. A

14.

Теорема 15.3: Через три точки, не лежащие на одной прямой,
можно провести плоскость, и притом только одну.
•Дано:
m. A, B, C a
•Доказать:
1) , такая, что m. A, B, C
2)пл. единственная !
B
A
C

15.

Теорема 15.3
•Доказательство:
Проведём прямые AB и AC
AB AC m. A
По C3 через AB и AC
можно построить
плоскость , и притом
только одну.
Теорема доказана.
B
A
C

16.

Теорема 16.1: Через точку вне данной прямой можно
провести прямую, параллельную этой прямой, и
притом только одну.
Дано:
прямая a,
т.А
а
Доказать:
I)
a , т.ч. т.А a , a || a
1
1
II) a1 единственная !
1
a

17.

Теорема 16.1
Доказать:
a1
I) a1 , т.ч. т. А a1 , a || a1
II)a !
1
a
Доказательство:
I) 1) Проведём плоскость через
прямую а и т.А ( по Т.15.1)
2) Через т.А проведём прямую
a1 || a, a1
Существование доказано.
a1

18.

Теорема 16.1
II) 3) Предположим,
a2 || a, т.ч. т.А а2
4) Проведём через прямые a и а 2
плоскость
, т.ч.
2
a 2 , a 2 2
т. А 2
5) Получили, что через прямую а и
точку А проходит 2 различные
плоскости
и 2, а по Т.15.1
через прямую и не
принадлежащую ей точку
можно провести единственную
плоскость, значит, a1 !
Теорема доказана.
a1
a

19. Признак параллельности прямых

Теорема 16.2:
Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны.
Рассмотрим случай, когда
прямые не принадлежат
одной плоскости.
b
Дано:
a
a || b, a || c
a, b, c одной плоскости
Доказать:
b || c
c

20.

Теорема 16.2
Доказательство:
1) a || b; a, b
(по определению параллельных)
2) a || c; a, c
b1
(по определению параллельных)
a
3) Возьмём т. B b,
т.B, прямая с 1
(по теореме 15.1)
4)
1
c
b , т.В b
1
B
b
1
1

21.

Теорема 16.2
b1 , тогда
5) Предположим, что
b1 с т. Х
b1
b1 а т. Х
a
следовательно,
а с т. Х
B
b
1
с
6) Но по условию a || c . Значит, наше
предположение (п.5) не верно, и значит b1 не пересекает пл. ,
7) Значит, b1 b
b, c 1
b1 не пересекает пр. с,
b1 не пересекает пр.а,
b || c
b, c не пересекаются
Что и требовалось доказать.

22. Признак параллельности прямой и плоскости

Теорема 16.3: Если прямая, не принадлежащая
плоскости, параллельна какой - нибудь прямой в этой
плоскости, то она параллельна и самой плоскости.
Дано:
плоскость
,
b ,
a
b
a
a || b
Доказать:
b ||

23.

Теорема 16.3
Доказательство:
1) a || b; a, b 1
(по определению
параллельных)
a
1
2) Пусть b не параллельна
то есть b т. Х
Тогда т. Х a , а значит
b
,
a b т. Х
Но по условию
a || b b не пересекает
и следовательно, b ||
Теорема доказана.
a
1

24.

Признак параллельности плоскостей
Теорема 16.4:
Если две пересекающиеся прямые
одной плоскости соответственно параллельны двум
прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
Дано:
a1, a 2
b1, b 2
a1
a2
c
a1 a 2 т. А
a1 || b1, a 2 || b 2
Доказать:
||
b1
b2

25.

Теорема 164
Доказательство:
c
1) Пусть
2) a1, a 2 ||
(по Т.16.3)
3) Прямые a1, a 2 не пересекают прямую с и лежат с
ней в одной плоскости,
а значит,
a1
a2
c
a1, a 2 || c
4) Следовательно, через т.А
в плоскости
проходит
2 прямых,
параллельных данной,
а это противоречит
аксиоме параллельных.
Наше предположение
(п.1) неверно, и значит,
b1
b2
|| . Теорема доказана.

26.

Существование плоскости, параллельной данной плоскости
Теорема 16.5:
Через точку вне данной плоскости можно
провести плоскость, параллельную данной, и притом
только одну.
Дано:
плоскость
т.А
Доказать:
1) , т.ч. т. А
; ||
2) !
(единственность мы
доказывать не будем)

27.

Теорема 16.5
Доказательство:
1) Возьмём произвольные
прямые
a
b
a b m.B
2) Через точку А проведём
прямые a1, b1 такие, что
b1
a1 || a, b1 || b.
3) Проведём плоскость
через прямые a1,b1
4) По Т.16.4 || .
Теорема доказана.
a
b
a1

28.

Теорема 17.1: Если две пересекающиеся прямые
параллельны соответственно двум перпендикулярным
прямым, то они тоже перпендикулярны.
Дано: a b; a, b
a1 b1 ;
b
a
a1 a, b1 b
a1 , b1
Доказать:
1
a1 b1
b1
a1
1

29. Дополнительное построение:

Теорема 17.1
Дополнительное построение:
1) a b m.C; a1 b1 m.C1
2) В плоскости параллельных
прямых a и a1 проведём
прямую c || CC ,
b
C
A a
B
1
c a m. A
AA1 || CC1
c a1 m. A1
3) Аналогично проведём
прямую d || CC ,
1
d b m.B
BB1 || CC1
d b1 m.B1
4) Проведём отрезки AB и A1 B1 .
b1
A1 a1
c
C1
1
B1
d

30. Доказательство:

Теорема 17.1
Доказательство:
1) Так как по построению AA1 || CC1 и
b
BB1 || CC1,то по теореме 16.2 AA1 || BB1
1 параллельны
A a
2) Плоскости
и
по теореме 16.4.
3) Рассмотрим четырёхугольник
C
B
ACC1 A1
AC || A1C1 -по условию
ACC1 A1
AA1 || CC1-по построению параллелограмм
AC A1C1
4) Рассмотрим четырёхугольник CBB C
b1
A1 a1
1 1
BC || B1C1 -по условию
CBB1C1
BB || CC -по построению
1
1
параллелограмм
BC B1C1
c
C1
1
B1
d

31.

Теорема 17.1
Доказательство:
5) Рассмотрим четырёхугольник
ABB1 A1 :
AA1 || BB1 -из 1)
b
АBB1 А1
AB || A1 B1 -по 1-му свойству параллелограмм A
C
a
B
параллельных плоскостей
AB A1B1
6) Рассмотрим
ABC и A1B1C1
Они равны по 3-м сторонам.
ACB 900 A1C1B1 900
А значит,
a1 b1.
Теорема доказана.
b1
A1 a1
c
C1
1
B1
d

32.

Теорема 17.2:
Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым,
лежащим в плоскости, то она перпендикулярна данной
плоскости.
Дано:
Плоскость
,
a ; b, c
b c m. A
a b, a c
a
Доказать:
a
b
c
A

33. Дополнительное построение:

Теорема 17.2
Дополнительное построение:
1) AA1 AA2 ; A1 , A2 a;
2) Проведём прямую х ; m. A x;
3) Проведём прямую k ; m. A k ;
k c m.C , k b m.B, k x m. X ;
4)Соединим т.A1 , A2 c m. B, C и X .
b
C
c
aA
1
A
X
B
x
A2
k

34. Доказательство:

Теорема 17.2
Доказательство:
1) Рассмотрим A1 A2C - равнобедренный, так
как
-по построению, AC a
1
2
- по условию. Т.е. АС– высота и медиана A1 A2C
Следовательно,
AA A A
aA
1
A1C A2C
2) A1 A2 B - равнобедренный аналогично,
A1B A2 B
3) A BC = A2 BC по 3 призн.,
1
Т.к. ВС – общая, а две другие стороны
равны из 1) и 2), следовательно,
c
b
C
A1BC A2 BC
4) A BX A BX по 1 признаку р-ва тр.
1
2
( BX -общая, A1B A2 B )
A1BC A2 BC A1 X A2 X
A
X
B
k
x
A2
5) Рассмотрим A1 A2 X -он равнобедренный ( A1 X A2 X , A1 A A2 A)
ХА- медиана, высота, а значит, прямая a x , и a . Ч.и т.д.

35.

Теорема 17.3:
Если плоскость перпендикулярна одной из двух
параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.
Дано:
плоскость
,
a || b
a
a m. A
b m.B
Доказать:
b
a
A
b
B

36.

Теорема 17.3
Дополнительное построение:
1) Проведём в плоскости
через точку В произвольную
прямую x2 .
2) Проведём в плоскости
прямую x1 || x2 ; m. A x1.
a
3) Так как a
, то a x1
по определению
перпендикулярности
прямой и плоскости.
b
A
B
x2
x1

37.

Теорема 17.3
Доказательство:
1) a x1и a || b
a
по условию
b
x1 || x2 -по построению
b x2 по теореме 17.1.
Но так как выбор прямой x2
был произволен, то b
Теорема доказана.
A
B
x2
x1

38.

Теорема 17.4:
Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости,
параллельны.
Дано:
плоскость
a
b
a
,
A
Доказать:
a || b
b
B

39.

Теорема 17.4
Доказательство:
Предположим противное прямая a не параллельна b .
Возьмём на прямой b
какую-нибудь т. B1 и
проведём через неё
прямую B1B2 || a.
B1B2 - по теореме 17.3
через т. B проходят 2
a
A
пересекающиеся
прямые,
перпендикулярные BB2 .
Пришли к противоречию, а значит, a || b .
Теорема доказана.
b
B1
B
B2

40. Теорема 17.5: Если прямая, проведённая на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна её проекции, то она

перпендикулярна
наклонной.
A
Дано:
плоскость
,
m. A ;
AB перпендикуляр к ,
AC наклонная,
BC проекция AC на ,
прямая c ; m.C c,
BC c.
Доказать:
c AC
B
c
C

41.

Теорема 17.5
Доказательство:
A
1) Проведём A C || AB.
A
2) По теореме 17.3:
A C c A C.
3) Проведём плоскость
через прямые AB и A C.
4) c A C - по построению,
c BC - по условию,
c , а значит,
c AC.
Теорема доказана.
B
c
C

42. Теорема 17.6: Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны

Дано:
плоскость
b
,
прямая b ;
плоскость ,
b .
Доказать:

43.

Теорема 17.6
Доказательство:
c
1)
b c m.O
2) Проведём на пл.
через т. О прямую a c
3) Проведём плоскость
через прямые a и b.
4) c a - по построению
c b - по условию,
c
b
O
c
a
5) a b (т.к. b ), а значит, пл. пересекает пл-ти и
по перпендикулярным прямым, по определению
перпендикулярности плоскостей. Теорема доказана.