Первообразная и неопределённый интеграл

1.

Направление подготовки бакалавров
38.03.02 Менеджмент
38.03.06 Торговое дело
19.03.04 Технология продукции и организация общественного питания
Б2.Б.1 Математика
Лекция
Первообразная и
неопределённый интеграл
Подготовил
старший преподаватель Нармуратов Н.К.
1

2.

Направление подготовки бакалавров
38.03.02 Менеджмент
38.03.06 Торговое дело
19.03.04 Технология продукции и организация общественного питания
Б2.Б.1 Математика
Цель лекции:
- изучить основные понятия и определения
интегрального исчисления,
- первообразную функции,
- свойства неопределенного и определенного
интегралов, основные методы интегрирования
2

3.

Направление подготовки бакалавров
38.03.02 Менеджмент
38.03.06 Торговое дело
19.03.04 Технология продукции и организация общественного питания
Б2.Б.1 Математика
Основные вопросы
1. Первообразная
2. Неопределенный интеграл, его основные
свойства
3. Табличные интегралы
4. Непосредственное интегрирование
5. Метод подстановки (замены переменных)
6. Интегрирование по частям
7. Интегрирование рациональных дробей
8. Интегрирование тригонометрических функций
3

4.

Направление подготовки бакалавров
38.03.02 Менеджмент
38.03.06 Торговое дело
19.03.04 Технология продукции и организация общественного питания
Б2.Б.1 Математика
1. Первообразная
Функция F(x) на данном промежутке Х называется
первообразной функцией для функции f(x) или
интегралом от f(x), если на всем промежутке f(x) является
производной для функции F(x):
Отыскание для функции всех ее первообразных называется ее интегрированием и
составляет основную задачу интегрального исчисления. Это задача является
обратной дифференцированию
4

5.

Направление подготовки бакалавров
38.03.02 Менеджмент
38.03.06 Торговое дело
19.03.04 Технология продукции и организация общественного питания
Б2.Б.1 Математика
2. Неопределенный интеграл, его
основные свойства
Теорема. Любые две первообразные для данной функции f(x),
определенной на множестве X, отличаются только постоянным
слагаемым.
Совокупность всех первообразных F(x) + С для заданной функции
f(x) называется неопределенным интегралом и обозначается
- подынтегральное выражение
- подынтегральная функция
5

6.

7.

Направление подготовки бакалавров
38.03.02 Менеджмент
38.03.06 Торговое дело
19.03.04 Технология продукции и организация общественного питания
Б2.Б.1 Математика
3. Таблица интегралов основных элементарных функций
7

8.

Направление подготовки бакалавров
38.03.02 Менеджмент
38.03.06 Торговое дело
19.03.04 Технология продукции и организация общественного питания
Б2.Б.1 Математика
4. Непосредственное интегрирование
Вычисление интегралов с помощью непосредственного
использования таблицы интегралов и основных линейных
свойств
неопределенного
интеграла
называется
непосредственным
интегрирование
или
методом
разложения.
8

9.

Направление подготовки бакалавров
38.03.02 Менеджмент
38.03.06 Торговое дело
19.03.04 Технология продукции и организация общественного питания
Б2.Б.1 Математика
5. Метод подстановки (замены переменных)
Пусть функция x = φ(t) определена и дифференцируема на
некотором промежутке T, и пусть X - множество значений этой
функции, на котором определена функция f(x). Тогда, если на
множестве X функция имеет первообразную, то на множестве T
справедлива формула:
9

10.

Направление подготовки бакалавров
38.03.02 Менеджмент
38.03.06 Торговое дело
19.03.04 Технология продукции и организация общественного питания
Б2.Б.1 Математика
=
10

11.

Направление подготовки бакалавров
38.03.02 Менеджмент
38.03.06 Торговое дело
19.03.04 Технология продукции и организация общественного питания
Б2.Б.1 Математика
6. Метод интегрирования по частям
Пусть
переменной
и
- две функции от
, имеющие непрерывные производные
и
, тогда
11

12.

Направление подготовки бакалавров
38.03.02 Менеджмент
38.03.06 Торговое дело
19.03.04 Технология продукции и организация общественного питания
Б2.Б.1 Математика
12

13.

Направление подготовки бакалавров
38.03.02 Менеджмент
38.03.06 Торговое дело
19.03.04 Технология продукции и организация общественного питания
Б2.Б.1 Математика
7. Интегрирование рациональных дробей
- многочлены m-й и n-й
,
гдерациональной дробью. Рациональная дробь
степени, называется
Выражение
называется правильной, если m < n, и неправильной в противном
случае.
13

14.

Направление подготовки бакалавров
38.03.02 Менеджмент
38.03.06 Торговое дело
19.03.04 Технология продукции и организация общественного питания
Б2.Б.1 Математика
Если дробь неправильная, следует разделить числитель на
знаменатель с выделением частного и остатка (Схема Горнера):
- делитель
x4 - 2x3 + 0x2 + x - 3 х2 - 3
- 4
х
- 3x2
х2 -2х+3 - частное
-2х3 + 3х2 + х
-2х3
+ 6х
3х2 - 5х - 3
- 3х2
-9
- 5х + 6 - остаток от деления
х2 -2х+3 +
14

15.

Направление подготовки бакалавров
38.03.02 Менеджмент
38.03.06 Торговое дело
19.03.04 Технология продукции и организация общественного питания
Б2.Б.1 Математика
Формула разложения правильной дроби
Пусть
- трехчлен с отрицательным дискриминантом,
тогда правильная дробь разлагается на сумму элементарных
дробей следующим образом:
15

16.

Направление подготовки бакалавров
38.03.02 Менеджмент
38.03.06 Торговое дело
19.03.04 Технология продукции и организация общественного питания
Б2.Б.1 Математика
16

17.

Направление подготовки бакалавров
38.03.02 Менеджмент
38.03.06 Торговое дело
19.03.04 Технология продукции и организация общественного питания
Б2.Б.1 Математика
8. Интегрирование тригонометрических
функций
Интеграл
вычисляется с помощью замены
17

18.

Направление подготовки бакалавров
38.03.02 Менеджмент
38.03.06 Торговое дело
19.03.04 Технология продукции и организация общественного питания
Б2.Б.1 Математика
Контрольные вопросы
1.
Что называется первообразной?
1.
По какой формуле вычисляется неопределённый интеграл?
1.
Перечислите компоненты этой формулы.
1.
Приведите таблицу интегралов основных элементарных функций.
1.
Перечислите свойства неопределённого интеграла.
1.
Каким образом составляется новый интеграл при решении методом
подстановки (замены переменной)?
18

19.

Направление подготовки бакалавров
38.03.02 Менеджмент
38.03.06 Торговое дело
19.03.04 Технология продукции и организация общественного питания
Б2.Б.1 Математика
Контрольные вопросы
7.
Что называют непосредственным интегрированием?
7.
Какая задача является обратной интегрированию?
7.
7.
Какие интегралы решаются методом интегрирования по частям? Как в
них распределяются части?
Какая замена переменной имеет место при интегрировании
тригонометрических функций?
19

20.

Направление подготовки бакалавров
38.03.02 Менеджмент
38.03.06 Торговое дело
19.03.04 Технология продукции и организация общественного питания
Б2.Б.1 Математика
Рекомендуемая литература
1.Быкова О., Колягин С., Кукушкин Б. Практикум по математическому анализу. - М.,
2011, 276 с.
2.Геворкян Э. А. Математика. Математический анализ. Учебно-методический
комплекс.-М.: Евразийский открытый институт, 2010.- 343 с.
http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=93168
3.Гусак А.А. Высшая математика. Часть 1. М.: Высшая школа, 2005.
4.Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и
задачах. Т1, Т2. М., Высшая школа, 1997.
5.Демидович В.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.,
Наука, 1990.
6.Курзина, В.М. Математика.[текст]: Практическое пособие/В.М. Курзина, В.В. Казей,
Д. С. Васильева.-М.:РУК,2010.-105 с
7.Математика: Учебник / А.А. Дадаян. - 3-e изд. - М.: Форум, 2010. - 544 с.: 60x90 1/16.
- (Профессиональное образование). http://znanium.com/bookread.php?book=242366
20

21.

Направление подготовки бакалавров
38.03.02 Менеджмент
38.03.06 Торговое дело
19.03.04 Технология продукции и организация общественного питания
Б2.Б.1 Математика
Рекомендуемая литература
Математика: Учебное пособие / Н.А. Березина, Е.Л. Максина. - М.: ИЦ РИОР: НИЦ
Инфра-М, 2013. - 175 с. http://znanium.com/bookread.php?book=369492
9. Математика: Учебник / А.А. Дадаян. - 3-e изд. - М.: Форум: НИЦ ИНФРА-М, 2013.
- 544 с. http://znanium.com/bookread.php?book=397662
10. Математика: Учебное пособие / Ю.М. Данилов, Н.В. Никонова, С.Н. Нуриева; Под
ред. Л.Н. Журбенко, Г.А. Никоновой. - М.: НИЦ ИНФРА-М, 2014. - 496 с.
http://znanium.com/bookread.php?book=471655
11. Пухначев Ю. Семь семинаров по математическому анализу. – М.: 2012, 592 с.
12. Туганбаев А. А. Дифференциальные уравнения: Учебное пособие.-3-е издание.-М.:
Издательство «ФЛИНТА», 2012.-34 с.
http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=115139
13. Шапкин А. С. Математические методы и модели исследования операций: Учебник.М.: Дашков и Ко, 2012.-397 с.
http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=112204
14. Шипачев В.С. Высшая математика. М.: Высшая школа, 2006.
15. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1, Т .2
8.
21

22.

Направление подготовки бакалавров
100100.62 Сервис
профиль Сервис в торговле
Б2.Б.1 Математика
Дополнительные источники
1.
Березина Н.А., Максина Е.П. Математика. – М.: ИД «Риор», 2007
2.
Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика. – М.: Издательство «Дрофа»,
2009
3.
Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Сборник дидактических заданий по
математике. – М.: Издательство «Дрофа», 2009
Электронные ресурсы:
- www.iprbookshop.ru, http://www.iprbookshop.ru
- Научная электронная библиотека eLIBRARY.RU http://elibrary.ru
- Электронная библиотека Grebennikon
httphttp.//http.//grebennikonhttp.//grebennikon.http.//grebennikon.ru/
- Универсальная справочно-информационная полнотекстовая база данных
периодических изданий East View
httphttp://http://ebibliotekahttp://ebiblioteka.http://ebiblioteka.ruhttp://ebiblioteka.ru/
- Электронная библиотечная система znanium.com
22

English Русский Rules