Квадратные уравнения. Основные понятия

1. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Игорь Жаборовский © 2012
UROKIMATEMATIKI.RU

2.

Квадратным уравнением называют
уравнение вида ax2+bx+c=0, где коэффициенты a, b, c –
любые действительные числа, причем a=0
.
Определение
1:
Многочлен ax2+bx+c называют квадратным
трехчленом
а – первый (старший) коэффициент
b – второй коэффициент (коэффициент при х)
с – свободный член
Квадратное уравнение называют
приведенным, если старший коэффициент равен 1;
квадратное уравнение называют непривиденным, если
старший коэффициент отличен от 1.
Определение
2:
Игорь Жаборовский © 2012
UROKIMATEMATIKI.RU

3.

2x2 x 3 0
- неприведенное квадратное уравнение.
x 2 3x 4 0
- приведенное квадратное уравнение.
Полное квадратное уравнение – это
квадратное уравнение, в котором присутствуют все три
слагаемых; это уравнение, у которого коэффициенты
b, c отличны от нуля.
Определение 3:
Неполное квадратное уравнение – это квадратное
уравнение, в котором присутствуют не все три
слагаемых; это уравнение, у которого хотя бы один из
коэффициентов b, c равен нулю.
Игорь Жаборовский © 2012
UROKIMATEMATIKI.RU

4.

Определение
4:
Корнем
квадратного
уравнения
ax2+bx+c=0 называют всякое значение переменной х,
при
котором
квадратный
трехчлен
ax2+bx+c
обращается в нуль; такое значение переменной х
называют корнем квадратного трехчлена
Корень квадратного уравнения ax2+bx+c=0 - это такое
значение переменной х, подстановка которого в уравнение
обращает уравнение в верное числовое равенство 0=0
Решить квадратное уравнение – значит найти все его
корни или установить, что корней нет
Игорь Жаборовский © 2012
UROKIMATEMATIKI.RU

5.

Пример 1: Решить неполное квадратное уравнение
a) 2 x 2 7 x 0;
x(2 x 7) 0;
x1 0, x2 3,5.
x 0;
2 x 7 0;
x 3,5.
б ) x 2 5 x 0;
x( x 5) 0;
x1 0, x2 5.
в) x 2 16 0;
x 2 16;
x1 4, x2 4.
г ) 2 x 2 7 0;
x 2 3,5;
д) 3x 2 10 0;
3x 2 10;
е) 5x 2 0;
x 2 0;
Игорь Жаборовский © 2012
x1, 2 4.
x1 3,5, x2 3,5.
x1, 2 3,5.
нет действтельных корней
x 0.
UROKIMATEMATIKI.RU

6.

Решение неполных квадратных уравнений:
1. Если уравнение имеет вид ах2=0, то оно имеет один
корень: х=0.
2. Если уравнение имеет вид ах2+bx=0, то используется
метод разложения на множители: х(ax+b)=0; значит,
либо х=0, либо ax+b=0.
b
x1 0, x2 .
a
3. Если уравнение имеет вид ах2+с=0, то его преобразуют к
c
2
2
виду ах =-с, x ; если
c
- отрицательное число, уравнение
a
a
c
c
2
x не имеет корней; если - положительное число, т.е.
a
c a
2
m, m 0, уравнение x =m имеет два корня: x1 m , x2 m ,
a
x1,2 m.
Игорь Жаборовский © 2012
UROKIMATEMATIKI.RU

7.

y ax 2 bx c
парабола
Пересечение в
двух точках
Касание оси х
Не пересекается с
осью х
Квадратное уравнение ах2+bx+c=0 может иметь либо
два корня, либо один корень, либо вообще не иметь корней.
Игорь Жаборовский © 2012
UROKIMATEMATIKI.RU

8.

Пример 2: Решить уравнение
x 2 2 x 3 0.
Решение:
VI способ:
x 2 2 x 3 x 2 x 3x 3 x( x 1) 3( x 1) ( x 1)( x 3).
( x 1)( x 3) 0;
x1 1, x2 3.
VII способ:
x 2 2 x 3 ( x 2 2 x 1) 4 ( x 1) 2 4 ( x 1 2)( x 1 2)
( x 1)( x 3).
( x 1)( x 3) 0;
x1 1, x2 3.
Игорь Жаборовский © 2012
UROKIMATEMATIKI.RU