Основные элементарные функции, их свойства и графики

1.

Основные
элементарные
функции,
их свойства
и графики.

2.

Как возникло и развивалось
понятие функции
Понятие функции уходит своими корнями в ту
далёкую эпоху, когда люди впервые поняли,
что окружающие их явления взаимосвязаны.
Они ещё не умели считать, но уже знали, что,
чем больше оленей удастся убить на охоте,
тем дольше племя будет избавлено от голода.

3.

Рождение термина

4.

В конце XVII века
Лейбниц (1646-1716)
и его ученики стали
применять термин
«функция».
Речь шла об отрезках
касательных к кривым, их
проекциях на оси координат
и о «другого рода линиях,
выполняющих для данной
фигуры некоторую
функцию».

5.

Жан Батист
Фурье
(1768-1830)
Выдающийся
французский
математик.
Дал четкое
определение
понятию «функция».

6.

Понятие функции
При изучении различных явлений природы и решении технических
задач, а, следовательно, и в математике приходится рассматривать
изменение одной величины в зависимости от изменения другой.
Так, например, известно, что площадь круга выражается через
радиус формулой S = πr2.
Если радиус r принимает различные числовые значения, то
площадь S также принимает различные числовые значения, т.е.
изменение одной переменной влечет изменение другой.
Если каждому значению переменной x, принадлежащему
некоторой области, соответствует одно определенное значение
другой переменной y, то y есть функция от х.
y = f(x)
зависимая переменная
или функция
независимая переменная
или аргумент

7.

Понятие функции
Совокупность значений x, для которых определяются значения
y в силу правила f(x) называется областью определения
(областью существования) функции: D(f)
Совокупность значений y называется множеством значений
функции: Е(f)
Способы задания функции:
1) Табличный.
При этом способе выписываются в определенном
порядке значения аргумента и соответствующие
им значения функции.
x
x1
x2
…
xn
у
y1
y2
…
yn

8.

Понятие функции
2) Графический.
y
y
0
М (х; у )
х
х
Совокупность точек
плоскости XOY,
абсциссы которых
являются значениями
независимой
переменной, а ординаты
– соответствующими
значениями функции,
называется графиком
функции
y = f(x).
3) Аналитический:
Функция y = f(x) задана аналитически , если f - обозначает
действия, выполняемые над переменной, например:
y x2 5

9.

Основные характеристики функции
Функция y = f(x) определенная на множестве D, называется
четной, если для любого x, принадлежащего D выполняются
условия: -x также принадлежит D и f(-x ) = f(x).
x D
x D :
f ( x ) f ( x )
x D
f ( x ) f ( x )
Функция y = f(x) определенная на
множестве D, называется нечетной, если: x D :
График четной функции симметричен относительно оси OY
График нечетной функции симметричен относительно точки O(0; 0)
y
y
3
y x
y x2
0
0
х
х

10.

Основные характеристики функции
Пусть функция y = f(x) определена на множестве D и пусть
D1 D (множество D1 является подмножеством множества D)
Если
x1, x2 D1; x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 )
y
то функция называется возрастающей.
Если x1, x2 D1; x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) f(x12 )
f(x 12 )
то функция называется убывающей. Из неравенства
x <x
1
Если
x1, x2 D1; x1 x2 f ( x1 ) следует
f ( x2 ) неравенство
0
x1 xx22
то функция называется неубывающей.
Если
2
f(x1) < f(x2)
х
x1, x2 D1; x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 )
то функция называется невозрастающей.
Возрастающие, убывающие, невозрастающие и неубывающие
функции называются монотонными на множестве D1, интервал, на
котором функция монотонна называется интервалом
монотонности.

11.

Основные характеристики функции
Функция y = f(x) определенная на множестве D, называется
ограниченной, если
M 0 : x D f ( x ) M
Существует такое число М
График ограниченной функции лежит между прямыми:
y = - M и y = M.
y
М
0
-М
х

12.

Основные характеристики функции
Функция y = f(x) определенная на множестве D, называется
периодической, если
x T D
T 0 : x D
f ( x T ) f ( x )
Число Т называется периодом
функции.
Если Т – период функции, то ее
периодами будут также числа
2Т, 3Т и так далее.
Наименьшее положительное число Т,
удовлетворяющее условию:
f(x +T) = f(x), называется основным
периодом
y
Т
х
0
2Т

13.

Основные элементарные функции
1) Линейная функция: y kx b
y
2) Степенная функция:
y x
четное
n a
a 11
0 a 1
n
нечетное
1
21 1 2
3) Показательная функция:
x
2 2 k tg
y a
a 0; a 1
1
-1 0
-1
1
1
х
4) Логарифмическая функция:
b2
-1 -1
222
2
y log x a 0; a 1; x 0
n
a
5) Тригонометрические функции:
y tg x
y sin x
0 a 1
y cos x
y ctg x
6) Обратные тригонометрические функции:
y arcsin x y arccos x y arctg x
y arcctg x