Применение дифференциальных уравнений для решения прикладных задач механики. Зависимость угловой скорости от времени

1.

Применение дифференциальных
уравнений для решения
прикладных задач механики
Зависимость угловой скорости от времени
Подготовил
Самсонов В.Ю. гр. МТЭП-17-1/9

2.

Цель проекта
1. Научиться применять дифференциал при
решении прикладных задач механики
2. Научиться составлять математическую
модель прикладной задачи

3.

Задача:
• Замедляющее действие трения на диск, вращающийся
в жидкости, пропорционально угловой скорости
вращения. Найти зависимость угловой скорости от
времени, если известно что диск, начав вращаться со
скоростью 200 об/мин, по истечении 1 мин вращается
со скоростью 120 об/мин.

4.

Угловая скорость — величина, характеризующая
скорость вращения материальной точки вокруг центра
вращения. Для вращения в двухмерном пространстве угловая
скорость выражается числом, в трёхмерном пространстве
представляется псевдовектором.

5.

Диск – это предмет в виде плоского круга.
Деталь машины или какого
либо устройства в виде такого предмета.

6.

Вернемся к задаче!
Решение:
Пусть - угловая скорость вращения диска,
об/мин; k – коэффициент
пропорциональности;
- изменение
угловой скорости вращения диска в
жидкости.
Силовому воздействию вращения оказывают
сопротивление переменной от изменения
скорости вращения.

7.

Таким образом, из уравнения действующих сил
или

8.

Разделяя переменные, получим
и интегрируя,

9.

После преобразований
Общее решение уравнения

10.

Продолжаем решать задачу:
Необходимо определить значения С и
коэффициента пропорциональности k.
Из начальных условий
,
,
Тогда
и

11.

Далее, имеем
Из этого равенства определим величину k:
Откуда

12.

Подводим итог
Искомая зависимость угловой скорости от времени