Построение моделей с шумом и фильтром (лекция 5)

1.

Построение моделей с шумом и
фильтром
Случайные величины. Понятие математическое ожидание,
среднеквадратическое отклонение, дисперсия, ковариация
Случайная величина — это математическое понятие для описания
случайных явлений, для которых может быть определена их вероятность, то
есть возможность их наступления.
Математическое ожидание (μ) – среднее значение случайной величины.
Среднеквадратическое отклонение, СКО (σ) – показатель рассеивания
случайной величины относительно ее математического ожидания.
Дисперсия (σ2) – мера разброса случайной величины относительно ее
математического ожидания. Для ее вычисления достаточно СКО возвести в
квадрат:
Ковариация (cov) – показатель линейной зависимости двух величин,
представленных выборкой случайных значений.

2.

Для случайной величины X, принимающей n значений xi (i = 1..n)
они вычисляются по формулам:
1 n
xi .
n i 1
1 n
2
xi .
n i 1
1 n
2
D( X ) xi .
n i 1
2
cov( X , Y ) [( X ( X )(Y (Y )].

3.

Основные типы фильтров
Фильтром называется устройство, пропускающее сигналы одних частот и
задерживающее или ослабляющее сигналы других частот [2].
Они классифицируются:
1)
по виду амплитудно-частотной характеристики (АЧХ):
- фильтры нижних частот (ФНЧ);
- фильтры высоких частот (ФВЧ);
- заграждающие фильтры (ЗЖ);
- полосовые фильтры (ПФ);
2)
по элементной базе:
- активные фильтры;
- пассивные фильтры.
3)
по виду полиномов, которые используют для аппроксимации
передаточной функции:
- фильтр Чебышева;
- фильтр Бесселя;
- фильтр Баттерворта;
- фильтр Кауэра (эллиптический фильтр).
Фильтр низких частот пропускает частоты, находящиеся ниже частоты
среза и подавляет частоты, которые расположены выше ее.

4.

Фильтр высоких частот наоборот – пропускает
частоты.
высокие
и задерживает
низкие
Полосовой фильтр пропускает частоты в определенном диапазоне и задерживает все
частоты, которые расположены вне его границ.
Заграждающий фильтр задерживает данную полосу частот и пропускает все
остальные. Активные фильтры используют в своей электронной схеме операционные
усилители или транзисторы.
Пассивные фильтры не используют усилительные элементы.
Фильтр Чебышева может быть 1-го рода и 2-го рода. Первый из них имеет колебания
АЧХ в полосе пропускания ниже частоты среза и монотонно убывающую характеристику в
зоне подавления выше ее. У другого типа фильтра гладкая АЧХ в полосе пропускания и
колебательная в полосе задерживания. Фильтры Бесселя и Баттерворта имеют гладкую АЧХ
на всех частотах. Но второй тип фильтра сохраняет ее форму при более высоком порядке. У
эллиптического фильтра пульсации присутствуют как в полосе пропускания, так и
подавления.
Исходными данными для расчета всех типов фильтров являются:
- Wp – частота среза;
- Ws – граничная частота подавления сигнала;
- Rp – пульсации АЧХ в полосе пропускания;
- Rs – затухание АЧХ в полосе подавления.

5.

|H(jW)|
|H(jW)|
Rp
1
Gp
Rs
Gs
0
а)
W, Гц
Wp Ws
0
б)
Rp
1
Gp
W, Гц
Wp Ws
W, Гц
Wp Ws
Rp
1
Gp
Rs
Gs
в)
Rs
Gs
|H(jW)|
|H(jW)|
0
Rp
1
Gp
Rs
Gs
0
г)
Wp Ws
W, Гц
|H(jW)|
Rp
1
Gp
Rs
Gs
0
д)
Wp Ws
W, Гц
АЧХ фильтров: а) – Чебышева 1 рода, б) – Чебышева 2 рода, в) –
Бесселя, г) – Баттерворта, д) – Кауэра

6.

Моделирование генератора случайного шума с различными
законами распределения
Некоторые функции Scilab для случайных чисел с заданным законом
распределения:
- нормальный закон распределения (генерирует матрицу размером 2х3 с мат.
ожиданием, равным 0 и СКО, равным 8:
--> Y = grand(2, 3, "nor", 0, 8)
Y =
3.5110887 1.5834624 -8.5462246
-8.2304365 3.0671299 0.3110446
- Хи-квадрат-распределение (генерирует матрицу размером 5х7 с 10 степенями
свободы)
--> Y = grand(5, 7, "chi", 10)
Y =
9.7746775 16.685146 9.1471895 11.14722 19.420047 13.023622 8.3471715
6.2152942 23.527302 9.0346669 7.0474033 13.569956 8.1061321 5.6551423
7.1672335 25.104455 9.2918423 2.6527948 10.526168 11.990667 7.0998227
16.667546 9.1779628 4.7887703 4.8297197 6.1132309 11.951783 11.187687
6.8530007 5.4494963 11.176541 14.136379 12.972641 8.8980464 3.3115789

7.

Построение моделей фильтров в Scilab
Функция возвращает передаточную функцию фильтра.
[hz]=iir(n,ftype,fdesign,frq,delta)
•n — порядок фильтра, целое положительное число;
•ftype — строка, задающая тип фильтра, возможные значения:
•‘lp’ — ФНЧ (фильтр нижних частота);
•‘hp’ — ФВЧ (фильтр верхних частот);
•‘bp’ — ПФ (полосовой фильтр);
•‘sb’ — ЗФ (заграждающий фильтр);
•fdesign — строка, задающая вид фильтра, возможные значения:
•‘butt’ — фильтр Баттерворта;
•‘cheb1’ — фильтр Чебышева первого рода;
•‘cheb2’ — фильтр Чебышева второго рода;
•‘ellip’ — эллиптический фильтр;
•frq — двойной вектор [frq1 frq2], задающий дискретные частоты среза. Значение частоты должно лежать в диапазоне (0;
0,5]. Дискретная частота среза равна отношению частоты среза к частоте дискретизации. Для расчета ФНЧ и ФВЧ
используется только параметр frq1. При расчете ПФ и ЗФ, параметр frq1 задает нижнюю частоту среза, а frq2 — верхнюю.
•delta — двойной вектор [delta1 delta2], задающий значения ошибок для фильтра Чебышева и эллиптического фильтра.
delta1 используется в случае фильтра Чебышева первого рода, delta2 — в случае фильтра Чебышева второго рода. Оба
значения — в случае эллиптического фильтра. Значение ошибки должно лежать в диапазоне (0; 1). Пульсации:
•Для фильтра Чебышева первого рода: (1 − delta1) < Пульсации < 1;
•Для фильтра Чебышева второго рода: 0 < Пульсации < delta2;
•Для эллиптического фильтра: (1 − delta1) < Пульсации < 1;
в полосе подавления: 0 < Пульсации < delta2.
Пример:
Fd = 5000; Fc = 300; n=2;[hz] = iir(2,'lp','butt',[Fc/Fd],[])
hz =
2
0.0278598 + 0.0557195z + 0.0278598z
-----------------------------------2
0.5869195 - 1.4754804z + z