Системы линейных уравнений. Метод Гаусса

1.

2. Пример

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса
x 2 y 3 z 10
2 x 3 y z 1
3 x y 2 z 13
1 2 3 10 1 2 3 10 1 2 3 10 1 2 3 10
A 2 3 1 1 ~. 0 7 7 21 ~. 0 1 1 3 ~. 0 1 1 3 ~.
3 1 2 13 0 5 7 17 0 5 7 17 0 0 2 2
1 2 3 10
~. 0 1 1 3
0 0
1
1
x 2 y 3 z 10
y z 3
z 1

3. Обратный ход в методе Гаусса

Привели систему к диагональному виду:
x 2 y 3 z 10
y z 3
z 1
y 1 3,
y 2
x 2( 2) 3 1 0,
Ответ:
x 3
y 2
z 1
x 3

4. Решить систему методом Гаусса

Система трех уравнений с четырьмя неизвестными.
x1 x2 3 x3 x4 3
3 x1 x2 5 x3 5 x4 5
x x x 3 x 1
4
1 2 3
1 1 3 1 3 1 1 3 1 3 1 1 3 1 3
1 1 3 1 3
3 1 5 5 5 ~. 0 2 4 2 4 ~. 0 2 4 2 4 ~.
0 1 2 1 2
1 1 1 3 1 0 2 4 2 4 0 0
0 0 0
x3 C1
x4 C 2
x1 x2 C1 C2
1 1 3 1 3
0 1 2 1 2

5. Продолжение решения

В результате прямого хода метода Гаусса имеем:
x1 x2 C1 C2
1 1 3 1 3
0 1 2 1 2
x1 x2 3C1 C2 3
x 2C C 2
2
1
2
x3 C1
x4 C 2
x1 x2 3C1 C2 3
x 2C C 2
2
1
2
x3 C1
x4 C 2
x1 x2 3C1 C2 3; x1 2C1 C2 2 3C1 C2 3; x1 C1 2C2 1
x1 C1 2C2 1
x 2C C 2
2
1
2
x3 C1
x4 C2

6. Сделать проверку самостоятельно.

Ответ:
x1 C1 2C2 1
x 2C C 2
2
1
2
x3 C1
x4 C2
Пример частного решения:
Пусть
C1 1, C2 0
x1 2
x 4
2
x3 1
x4 0

7. Решить систему методом Гаусса

Система трех уравнений с четырьмя неизвестными.
3 x1 4 x2 x3 x4 1
x1 x2 2 x3 3 x4 5
4 x 3 x x 2 x 3
2
3
4
1
3 4 1 1 1 1 1 2 3 5 1 1 2 3 5 1 1 2 3 5
1 1 2 3 5 ~. 3 4 1 1 1 ~. 0 7 7 10 14 ~. 0 7 7 10 14
4 3 1 2 3 4 3 1 2 3 0 7 7 10 14 0 0
0
0
3
x1 x2 2 x3 3 x4 5
7 x2 7 x3 10 x4 14
0 x 0 x 0 x 0 x 3
2
3
4
1
Третье уравнение имеет вид: 0 3 - противоречие, следовательно,
система не имеет решения (несовместна).
Ответ: система несовместна.