Теоретичні основи метрологічного забезпечення. Основні поняття і визначення теорії ймовірностей

1.

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА
ФАКУЛЬТЕТ ВІЙСЬКОВОЇ ПІДГОТОВКИ
КАФЕДРА ВІЙСЬКОВО-ТЕХНІЧНОЇ ПІДГОТОВКИ
Керівник заняття:
завідувач кафедри, кандидат технічних наук, доцент
підполковник запасу ГЛУХОВ Сергій Іванович
2016 р.

2.

Предмет: Теоретичні основи
метрології
Тема №2. Теоретичні основи
метрологічного забезпечення.
Заняття №1. Основні поняття і
визначення теорії ймовірностей.

3. Мета заняття:

НАВЧАЛЬНА МЕТА:
1. Вивчити основні поняття і визначення теорії
ймовірностей.
2. Вивчити характеристики випадкових величин.
ВИХОВНА МЕТА:
1. Виховувати у студентів культуру поведінки.
2. Виховувати студентів у дусі патріотизму.

4. Навчальні питання і розподіл часу:

I. Вступна частина.............................................5 хв.
II. Основна частина. ….....................................70 хв.
1. Основні поняття і визначення теорії
ймовірностей ….....................................
25 хв.
2. Основні властивості ймовірноcтей .........25 хв.
3. Випадкові величини. Дискретні і безперервні
випадкові величини...........................................20 хв.
III. Заключна частина .......................................5 хв.

5.

ПИТАННЯ І
ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ І
ВИЗНАЧЕННЯ ТЕОРІЇ
ЙМОВІРНОСТЕЙ

6.

Теорія ймовірностей застосовується при нормуванні
похибок засобів вимірювань, оцінюванні похибок
вимірювань, виборі засобів вимірювань по точності,
визначенні законів розподілу похибок вимірювань і та
інші.
Теорія ймовірностей вивчає загальні закономірності
в масових випадках явищах незалежно від їх
конкретної природи і дає методи кількісної оцінки
впливу випадкових чинників на різні явища. Методи
теорії ймовірностей пристосовані для дослідження
масових випадкових, передбачених явищ, які
відбуваються багаторазово при незмінних основних
умовах. Вони дають можливість передбачити середній
результат маси однорідних випадкових явищ.

7.

При вивченні будь-яких процесів, які
відбуваються в природі, важливо встановити
можливі зв’язки між явищами-причинами і
явищами-наслідками.
При цьому експериментально відтворюють
явища-причини і шляхом спостереження за
явищами-наслідками встановлюють результат.
В теорії ймовірностей будь-який фізичний
процес, в ході якого здійснюється реалізація
явищ-причин, називається випробуванням або
дослідом.

8.

Будь-яке явище-наслідок, яке в результаті
випробування може відбутись, називається подією.
Подія, яка в даному випробуванні (досліді)
здійснюється
обов’язково,
називається
достовірною
подією.
Наприклад,
наявність
похибки в результаті вимірювання.
Неможлива подія – подія, яка в даному досліді не
може здійснитись. Наприклад, вимірювання без
похибки.
Випадкова подія – подія, яка в даному досліді
може виникнути, або не виникнути. Наприклад,
перевершення похибки вимірювання заздалегідь
встановленого значення.
Повна група подій – сукупність таких подій, з
яких хоча б одна повинна здійснитись в результаті
досліду.

9.

Сумісні події – такі події в даному досліді, коли
можливе здійснення двох подій разом.
Несумісні події – такі події в даному досліді, коли
ніякі дві з них не можуть здійснитись разом.
Протилежні події – дві несумісні події, які
створюють повну групу.
Рівноможливі події – такі події в даному досліді,
коли немає підстави важати яке з них більш
можливе, ніж будь-яке інше.

10.

В теорії ймовірностей застосовують два визначення
ймовірності – класичне і статистичне.
Класичне визначення ймовірності засноване на рівній
(однаковій) можливості наслідків випробувань.
Ймовірність Р (А) події А – це відношення числа m випадків
сприятливих появі події А, до загальної кількості рівноможливих
випадків n:
m
P( A )
n
(1)
Однак в теорії ймовірностей застосовується таке поняття як
частота появи даної події Р*(А).
Відносною частотою події називається відношення числа
випробувань m, в яких подія А здійснилась, до загальної кількості
проведених випробувань:
m
P A
n
*
(2)
Відносну частоту Р*(А) називають частістю події А в n
дослідах, а також статистичною ймовірністю.

11.

Випадки – рівноможливі несумісні події, які
створюють повну групу.
Сприятливий події випадок – випадок, поява якого
тягне за собою появу події.
Однорідні події – події, які здійснюються при одних і
тих же умовах, при одному і тому ж комплексі
чинників.
Кількісною характеристикою можливості появи
однорідної події в тих, або інших умовах, які
можуть повторюватись необмежену кількість разів,
є ймовірність події. Ймовірність події дозволяє
кількісно порівняти між собою події за ступенем
можливості їх появи. Вона (ймовірність) – це
число, яке тим більше, чим більша можливість
появи даної події.

12.

При
необмеженому
збільшенні кількості
однорідних незалежних випробувань з практичною
достовірністю можна стверджувати, що частість
події буде мало відрізнятись від її ймовірності в
окремому випробуванні, тобто при:
(3)
*
n
P A P A
Ймовірність здійснення події А при умові, що
здійснилась подія В, називається умовною
ймовірністю події А і позначається:
P A B
(4)
де зліва від дробової риски позначення події,
ймовірність якої обчислюється, а справа позначення події, яка за умовою мала місце.

13.

Якщо ймовірність здійснення однієї події не
залежить від того, здійснилося чи ні інша подія,
то такі події називаються незалежними.
Сумою декількох подій називається подія, яка
складається в появі хоча б однієї з цих подій.
Добутком декількох подій називається подія,
яка складається в сумісній появі всіх цих подій.

14.

ПИТАННЯ ІІ
ОСНОВНІ ВЛАСТИВОСТІ
ЙМОВІРНОСТЕЙ

15. ОСНОВНІ ВЛАСТИВОСТІ ЙМОВІРНОСТЕЙ

1. Відносна частота події і її ймовірність – величини
безрозмірні.
2. Ймовірність достовірної події дорівнює одиниці, тобто
при кожному випробуванні дана подія здійснюється,
таким чином m = n і частість дорівнює:
m n
*
P A 1
P A 1
і
(5)
n n
3. Ймовірність довільної випадкової події є додатне число,
яке не перевершує одиниці. Діапазон зміни частості і
ймовірності випадкової події визначається виразом:
0 P A 1
0 P * A 1
і
(6)
4. Ймовірність неможливої події дорівнює нулю, т.б.т m=0, і,
слід:
m
*
(7)
P A 0 і
n
P A 0

16.

5. Теорема складання ймовірностей.
Ймовірність суми сумісних подій А1, А2, …, Аn визначається
за формулою:
n 1 n
n
n
n
n 1
P Ai P Ai P Ai A j ..... 1 P Ai
i 1 j i 1
i 1 i 1
i 1
(8)
6. Ймовірність суми n несумісних подій А1, А2, ….,Аn
визначається за допомогою формули:
n
P Ai
i 1
n
P A
i 1
i
(9)
тобто ймовірність суми несумісних подій дорівнює
сумі ймовірностей цих подій.
Якщо несумісні події А1, А2, … ,Аn створюють повну
групу, то
n
(10)
P Ai 1
i 1

17. (11)

_
Якщо А і А
– протилежні
події, то їх сума дорівнює одиниці:
_
P A P A 1
(11)
7. Теорема множення ймовірностей. Ймовірність добутку n залежних подій
А1, А2, … Аn дорівнює добутку ймовірностей цих подій. При цьому
ймовірність наступної за порядком події обчислюється при умові, що всі
попередні мали місце:
n
P Ai P A1 P A2 A1 P A3 A1 A2 ... P An A1 ... An 1
i 1
(12)
ймовірність добутку n незалежних подій А, А, …. ,Аn дорівнює добутку
ймовірностей цих подій:
P A P A
(13)
Із останньої формули слідує, що ймовірність добутку двох залежних подій А і
В дорівнює добутку ймовірності одного з них на умовну ймовірність
іншого, обчисленого при умові, що перше мало місце:
Якщо події А і В незалежні, то
P A B P A P B A P B P A B (14)
;
(15)
P A B P A
P B A P B
(16)
P A B P A P B
n
i 1
n
i
i 1
i

18.

8. Теорема про повторення дослідів. Декілька дослідів
називаються незалежними, якщо ймовірність наслідку
кожного з дослідів не залежить від того, які наслідки мали
інші досліди:
Pmn C nm p m q n m
(17)
Висновок:
в
даному
питанні розглянуті основні
властивості ймовірностей, які далі будуть використовуватись
при розгляді законів розподілу випадкових величин.

19.

ПИТАННЯ ІІІ
ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ.
ДИСКРЕТНІ І НЕПЕРЕРВНІ
ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ.

20.

Застосування випадкових величин для обчислення
ймовірності події нерідко зручніше, ніж застосування
випадкових подій.
Випадкові величини (ВВ) – будь-яка кількісна
характеристика досліду, яка в його результаті може
приймати одне або інше значення, причому наперед
невідомо, яке саме. Значення, які приймає випадкова
величина в результаті досліду, називають її можливими
значеннями.
Для позначення випадкових величин застосовують
прописні літери латинського алфавіту: X, Y, Z ….. , а для її
можливих значень – строкові: x, y, z… Запис Х= хі означає,
що в результаті і-го досліду випадкова величина Х набула
конкретного значення хі.

21.

Дискретна випадкова величина Х, яка набуває
значень, які можна перерахувати. Дискретна ВВ Х
може набувати тільки кінцеву і рахункову множину
можливих значень і ймовірність кожного з них
відмінна від нуля.
Неперервна випадкова величина Х, яка набуває
будь-які значення з деякого інтервалу. Можливі
значення такої ВВ безперервно заповнюють деякий
інтервал і їх неможливо перерахувати наперед.
Висновок: Випадкові
величини можуть бути
дискретними і безперервними. Значення дискретної
ВВ
можуть
бути
перераховані.
Значення
безперервної ВВ заповнюють деякий інтервал.
Випадкові похибки вимірювань відносяться до
безперервних випадкових величин.