Устойчивость линейных систем автоматического регулирования

1.

УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
1) Понятие устойчивости линейных систем
2) Алгебраические критерии устойчивости
3) Критерий устойчивости Михайлова
4) Критерий устойчивости Найквиста
5)Определение устойчивости по логарифмическим
характеристикам

2.

1) Понятие устойчивости линейных систем
.
Устойчивость – это свойство системы возвращаться в исходный
или близкий к нему установившийся режим после всякого выхода из него
в результате какого-либо воздействия.
y
y
1
1
2
2
t
0
а)
t
0
б)
В случае устойчивой системы (б) переходный процесс, вызванный какимлибо воздействием, со временем затухает апериодически (кривая 1) или
колебательно (кривая 2), и система вновь возвращается в установившееся
состояние.
Если система неустойчива, то достаточно любого толчка, чтобы в ней
начался расходящийся процесс ухода из исходного установившегося
состояния.

3.

1) Понятие устойчивости линейных систем
.
Устойчивую систему можно определить также как систему,
переходные процессы в которой являются затухающими.
Приведенное понятие устойчивости определяет устойчивость
установившегося режима системы.
Линейная система автоматического управления называется
устойчивой, если ее выходная координата у(t) остается ограниченной
при любых ограниченных по абсолютной величине входных
воздействиях х(t) и f(t).
Устойчивость линейной
характеристиками
и
не
воздействий.
системы
зависит
определяется ее
от
действующих
Для определения устойчивости линейной системы требуется
найти изменение ее управляемой величины.

4.

Процессы в системе описываются дифференциальным
уравнением вида
(1)
Решение линейного неоднородного уравнения (1) в общем
виде имеет вид
(2)
- частное решение неоднородного уравнения (1) с правой
частью (вынужденная составляющая)
- общее решение уравнения (1) без правой части, т. е. с правой
частью, равной нулю (свободная составляющая).

5.

1) Понятие устойчивости линейных систем
Общее решение однородного. уравнения в случае простых
(различных) корней характеристического уравнения можно записать
(3)
где 1 ,..., n - корни характеристического уравнения,
Сi - произвольные постоянные, определяемые через начальные
условия
Изменение начальных условий влияет только на поведение
свободной составляющей и не влияет на вынужденную, откуда
следует, что устойчивость будет определяться поведением свободной
составляющей.
lim yc (t ) 0 - асимптотически устойчивый процесс
t
lim yc (t ) - неустойчивый процесс
t
Если при любом t 0 свободная составляющая ограничена,
то процессы будут просто устойчивы.

6.

1) Понятие устойчивости линейных систем
.
Необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического
уравнения имели отрицательные вещественные части.
Условием устойчивости системы является расположение всех
корней характеристического уравнения, т.е. полюсов передаточной
функции системы, в левой комплексной полуплоскости или, все они
должны быть левыми.
Наличие корня на мнимой оси
означает, что система находится на
границе устойчивости.

7.

1) Понятие устойчивости линейных систем
1. Вещественный корень.
.
При λ1=-α1, y(t)=Ce-αt
Очевидно,
что
при
t
это
слагаемое будет «затухать.
При λ1=α1,
y(t)=Ceαt получим не
затухающий, а расходящийся процесс .
2. . Мнимые корни.
В этом случае λ1,2 = jβ.
Слагаемые, определяемые этими
корнями, будут представлять собой
незатухающие
колебания,
т.е.
колебания с постоянной амплитудой

8.

1) Понятие устойчивости линейных систем
3. Комплексные корни.
.
Комплексные корни бывают попарно сопряженными. При
отрицательной вещественной части два корня, например λ1 и λ2,
будут иметь вид λ1,2 = –α jβ.
В этом случае слагаемые, определяемые этими корнями в
уравнении (3), могут быть представлены в виде:

9.

1) Понятие устойчивости линейных систем
.

10.

1) Понятие устойчивости линейных систем
Различают два основных типа границы устойчивости:
1) наличие нулевого корня;
2) наличие пары чисто мнимых корней.
На границе устойчивости первого типа вещественный корень
попадает на границу устойчивости (ось мнимых) в начале координат.
Система будет устойчивой не относительно регулируемой величины Х, а
относительно
скорости
ее
изменения
рХ.
Величина
же
отклонения
регулируемой величины может принимать произвольные значения. Такую
систему называют нейтрально устойчивой, имея в виду её безразличие к
значению самой регулируемой величины.
На границе устойчивости второго типа, которая называется
колебательной границей устойчивости, два корня попадают на мнимую ось.
Система в этом случае будет иметь незатухающие гармонические колебания с
постоянной амплитудой

11.

2) Алгебраические критерии устойчивости
Для суждения об устойчивости системы практически не требуется
находить корней ее характеристического уравнения в связи с тем, что
разработаны косвенные признаки, по которым можно судить о знаках
действительных частей этих корней и тем самым об устойчивости
системы, не решая самого характеристического уравнения.
Эти
косвенные
признаки
называются
устойчивости.
Критерии устойчивости делятся на две группы:
Алгебраические
Частотные.
критериями

12.

2) Алгебраические критерии устойчивости
– Критерий устойчивости Гурвица
Пусть имеем характеристический полином вида
(4)
Полагаем, что a0 0
Составим из коэффициентов этого полинома определитель
(5)

13.

2) Алгебраические критерии устойчивости
Правила построения матрицы Гурвица:
1) Первая строка содержит все нечетные коэффициенты до
последнего, после чего строка заполняется до положительного числа
n элементов нулями.
2) Вторая строка включает все четные коэффициенты и тоже
заканчивается нулями.
3) Третья строка получается из первой, а четвертая – из второй
сдвигом вправо на один элемент
4) На освободившееся при этом слева место ставится нуль.
Аналогично сдвигом вправо на элемент получаются все последующие
нечетные и четные строки из предыдущих одноименных строк.
5) По диагонали от левого верхнего до правого нижнего углов
выписываются все коэффициенты по порядку от а1 до аn.

14.

2) Алгебраические критерии устойчивости
Условие
устойчивости
заключается
в
требовании
положительности
определителя
Гурвица
и
всех
его
диагональных миноров.
Для n = 1
(6)
Условия устойчивости сводятся к неравенствам:
(7)
Для n = 2
(8)
Условия устойчивости:
(9)

15.

2) Алгебраические критерии устойчивости
Для n = 3
(10)
Условия устойчивости сводятся к неравенствам:
(11)
Для n = 4
Условия устойчивости:
(12)

16.

2) Алгебраические критерии устойчивости
Критерий устойчивости Гурвица в общем виде сводится к тому, что при
положительности
характеристического
коэффициента
полинома
при
должны
старшей
быть
больше
степени
нуля
все
a0
n
квадратичных определителей Гурвица, если хотя бы один из определителей
меньше нуля, то система будет не устойчивой.
Если
определитель
n=0,
то
система
находится
на
границе
устойчивости.
Из условия n-1=0 можно определить параметры, при которых система
находится на границе устойчивости.
Существенным недостатком алгебраических критериев является то, что
для уравнений высоких порядков в лучшем случае можно получить ответ о
том, устойчива или не устойчива система автоматического регулирования.
При этом в случае неустойчивой системы критерий не дает ответа на то,
каким образом надо изменить параметры системы, чтобы сделать её
устойчивой.

17.

2) Алгебраические критерии устойчивости
Рассмотрим замкнутую систему
Характеристический полином замкнутой системы имеет вид
Матрица Гурвица

18.

2) Алгебраические критерии устойчивости
Проверим графически с помощью Matab
характеристического уравнения от коэффициента k.
зависимость
корней

19.

2) Алгебраические критерии устойчивости
K=9
K=8
K=2

20.

2) Алгебраические критерии устойчивости
Пример 2. Используя критерий Гурвица построить область устойчивости
в плоскости параметров (K, T2) при следующих данных: Т1 = 0,25 с; Т3 = 0,1 с;
ΔТ2 = 0,05Т2; коэффициент запаса устойчивости α = 3.
v(s)≡0
Σ
K (T2 s 1)
s (T1 s 1)(T3 s 1)
y(s)
-1
Характеристический полином замкнутой системы имеет вид
Условие устойчивости:

21.

Граница между областью устойчивости и неустойчивости в
плоскости параметров K и T2 определяется уравнениями:
Граница устойчивости:
К
100
Область
неустойчивости
K гр
п
K до
При заданных исходных
данных имеем:
1 K гр
T2 гр
10
Область допустимых
значений параметров
T2 ãp 0,071
1
0,03
0,04
0,05
T2
0,06
0,068
T2 , c

22.

2) Алгебраические критерии устойчивости
Система будет устойчивой при любых настройках
0 T2 T2 ãð
и любых значениях K, лежащих ниже значений
При любых других значениях T2 и K система неустойчива.
Система склонна к неустойчивости при значениях коэффициента K
близких
к
граничным
и
при
неблагоприятных
изменениях
постоянных времени T1 и T3 может потерять устойчивость.
На номограммах выделяют область допустимых значений
параметров,
при
которых
в
реальной
соблюдение условий устойчивости.
системе
гарантируется

23.

Пример 3. Используя критерий Гурвица построить область устойчивости
в плоскости параметров (K2, T2) при следующих данных: Т1 = 0,25 с; Т2 = 0,4 с;
K1= 4, K3= 1.
v t
e(t )
K1
T1s 1
K2
T2 s 1
K3
s
y (t )
-
Передаточная функция разомкнутой системы определяется по
выражению

24.

Главная передаточная функция замкнутой системы
Характеристическое уравнение функции имеет вид

25.

Определитель Гурвица для системы 3– го порядка имеет вид
Условия устойчивости
следующим образом:
замкнутой
системы
запишем

26.

Из этих условий найдем коэффициента K2gr

27.

Построим область устойчивости системы в плоскости
параметров (K2, T2)
%----------------------------------t2=0:0.01:0.45;
k2=(T1+t2)./(T1*t2*K1*K3);
plot(t2,k2), grid on,hold on
plot(T2,K2_gr,'or')
gtext(['K2_gr= ',num2str(K2_gr)])

28.

29.

3) Критерий устойчивости Михайлова
Рассмотрим характеристическое уравнение :
Подставим в этот полином чисто мнимое значение s = j , где
представляет собой угловую частоту колебаний, соответствующих чисто
мнимому корню характеристического решения.
В этом случае получим характеристический комплекс
(13)
где вещественная часть будет содержать четные степени частоты
(14)
а мнимая – нечетные степени частоты
(15)

30.

3) Критерий устойчивости Михайлова
Если заданы все коэффициенты и определенное значение частоты ω, то
величина D(jω) изобразится на комплексной плоскости в виде точки с
координатами U и V или в виде вектора, соединяющего эту точку с началом
координат.
Если же значение частоты
менять
непрерывно от нуля до
бесконечности, то вектор будет изменяться по величине и направлению,
описывая своим концом некоторую кривую (годограф), которая называется
кривой Михайлова .
2
jV
1 = 0
3
an
4
5
U

31.

3) Критерий устойчивости Михайлова
Формулировка критерия Михайлова.
Автоматическая система управления, описываемая уравнениями
п-го порядка будет устойчивой, если при изменении частоты от 0 до
характеристический
вектор
системы
(годограф
Михайлова)
повернется против часовой стрелки на угол n ( / 2), не обращаясь
при этом в нуль.
Для устойчивости линейной САР необходимо и достаточно, чтобы
годограф
Михайлова
при
изменении
частоты
от
нуля
до
бесконечности, начавшись на положительной полуплоскости и не
пересекая начала координат, последовательно пересек столько
квадрантов комплексной плоскости, какой порядок имеет полином
характеристического уравнения системы.

32.

3) Критерий устойчивости Михайлова
Характеристические кривые, соответствующие устойчивым системам
(рисунок
б),
имеют
плавную
спиралеобразную
форму
и
уходят
в
бесконечность в том квадранте, номер которого равен порядку уравнения.
Если
характеристическая
кривая
проходит
п
квадрантов
не
последовательно или проходит меньшее число квадрантов, то система
неустойчива (рисунок в).

33.

Пример 4:
Оценить устойчивость системы по критерию Михайлова.
Характеристическое уравнение имеет вид
Заменим s = j , получим характеристический комплекс
Приравнивая поочередно четную нечетную функции нулю, находим
частоты 1,41 и 1,73, соответствующие пересечению кривой с осями
координат.

34.

3) Критерий устойчивости Михайлова
Пример 5: Найти критическое значение коэффициента
усиления системы по критерию Михайлова.
Характеристическое уравнение имеет вид
Заменим s = j , получим характеристический комплекс
Условия нахождения САУ на границе устойчивости

35.

Определяем частоту
Подставляем в первое уравнение
Частота, соответствующая колебательной границе устойчивости

36.

4) Критерий устойчивости Найквиста
Критерий устойчивости Найквиста — это также частотный
критерий, предложенный в 1932 г. Найквистом. Он позволяет судить
об устойчивости замкнутой системы управления по виду АФЧХ
разомкнутой системы.:
Кpитepий Hайквиста.
Если разомкнутая система автоматического управления имеет l
правых корней, то для того, чтобы замкнутая система была устойчива,
необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы W(jω)
при изменении частоты ω от -∞ до +∞ охватывала точку (–1, j0) на
комплексной плоскости в положительном направлении l раз.
Частный случай критерия Найквиста относится к системе,
устойчивой в разомкнутом состоянии (l = 0). При этом годограф не
должен охватывать точку (–1, j0).

37.

1,4- устойчивые системы, 2- на границе устойчивости, 3- неустойчивая

38.

4) Критерий устойчивости Найквиста
В
случае
формулировка
астатической
критерия
системы
Найквиста
сохраняется, однако при этом возникает
jV
<0
проблема понятия охвата и неохвата
точки (–1, j0), так как при ω —>0
годограф W(jω) уходит в бесконечность
и кривая W(jω) не является замкнутой.
( - 1, j 0)
a
0 =
W ( j )
В этом случае АФЧХ дополняется
выполнение
Найквиста.
условия
критерия
0
стрелке и после этого проверяется
>0
дугой бесконечного радиуса по часовой
=0
U

39.

40.

5) Определение устойчивости по логарифмическим
характеристикам
Для нормального функционирования система управления
должна обладать и некоторыми запасами устойчивости, т. е.
при изменении параметров системы в процессе работы свойство
устойчивости должно сохраняться.
Чем дальше находится кривая от точки (–1, j0), тем система
будет находиться дальше от границы устойчивости.
Числовые величины, характеризующие это свойство, носят
название запасов устойчивости и могут быть введены
различными способами.
Запас устойчивости по фазе
Запас устойчивости по амплитуде

41.

5) Определение устойчивости по логарифмическим
характеристикам
Запас устойчивости по фазe
-значение фазы при
( - 1, j 0)
-частота среза
Запас
устойчивости
jV
A
C
0
по
=
U
( c )
c B
амплитуде ΔА
- величина отрезка оси абсцисс между критической точкой
(-1, j0) и точкой C пересечения W(jω) с осью абсцисс, где

42.

ЛАХ должна пересечь ось абсцисс раньше, чем фаза,
спадая, окончательно перейдет за значение –π.
На частоте среза ωс величина фазы должна быть
меньше π.
L
lg c
0
1
L
2
4
-
lg
3
неустойчивая
устойчивая

43.

5) Определение устойчивости по логарифмическим
характеристикам
Для
систем,
неустойчивых
в
разомкнутом
состоянии,
требования к ЛАХ и ЛФХ в отношении устойчивости можно
сформулировать, исходя из соответствующих требований к
АФЧХ. В частности, для систем, неустойчивых в разомкнутом
состоянии, условием устойчивости в замкнутом состоянии
является следующее:
При положительной ЛАХ число пересечений ЛФХ уровня –
π снизу вверх должно быть на k/2 раз больше числа
пересечений в обратном направлении.

44.

Запас устойчивости по фазе определяется величиной
Δφ, на которую должно возрасти запаздывание по фазе в системе
на частоте среза ωс, чтобы система оказалась на границе
устойчивости.
Запас устойчивости по амплитуде определяется
величиной ΔL допустимого подъема ЛАХ, при котором система
окажется на границе устойчивости. Таким образом, запас по
амплитуде представляет собой запас по коэффициенту передачи
k разомкнутой системы по отношению к его критическому по
устойчивости значению.
При проектировании САУ рекомендуется выбирать Δφ ≥
30о, ΔL ≥ 6 дБ.

45.

Приведем формулы, с помощью которых можно по известным
исходным данным рассчитать запасы устойчивости, оценить влияние
параметров разомкнутой системы на эти запасы.
Расчетные формулы для системы с астатизмом второго
порядка и передаточной функцией
Расчетные формулы для системы с астатизмом второго
порядка и передаточной функцией
Расчетные формулы для системы с астатизмом первого
порядка и передаточной функцией

46.

5) Определение устойчивости по логарифмическим
характеристикам
Расчетные формулы для системы с астатизмом второго
порядка и передаточной функцией
Амплитудная частотная характеристика:
Базовая частота:
Фазовая частотная характеристика:
Частота среза при
Запас устойчивости по фазе:
при

47.

5) Определение устойчивости по логарифмическим
характеристикам
Расчетные формулы для системы с астатизмом второго
порядка и передаточной функцией:
Амплитудная частотная характеристика:
Базовая частота:
Фазовая частотная характеристика:
Запас устойчивости по фазе:

48.

5) Определение устойчивости по логарифмическим
характеристикам
Расчетные формулы для системы с астатизмом первого
порядка и передаточной функцией
Амплитудная частотная характеристика:
Базовая частота:
Частота среза
Фазовая частотная характеристика:
Запас устойчивости по фазе:

49.

Расчетные формулы для системы, передаточная функция
которых содержит звено запаздывания e- sT
Структурная схема системы управления объектом, динамическая
характеристика которого аппроксимирована передаточной функцией
с параметрами Kоб, Тоб и
В
устройстве
.
управления
реализован
интегральный
регулирования с параметрами настройки Kрег.
∑
K
рег
s
-1
K об e - s
Tоб s 1
закон

50.

5) Определение устойчивости по логарифмическим
характеристикам
Передаточная функция разомкнутой системы:
частотная амплитудная характеристика:
частотная фазовая характеристика:
частота среза:
запас устойчивости по фазе:

51.

Проверим
графически
характеристики звена
влияние
Kpeg
на
частотные