Дифференциальные уравнения гидравлического удара и их интегрирование в простейшем случае

1. ЛЕКЦИЯ 3 2.2 Дифференциальные уравнения гидравлического удара и их интегрирование в простейшем случае

2.

В процессе анализа и упрощений
уравнения Навье-Стокса и вывода
уравнения неразрывности были
сделаны следующие допущения:
1. Анализ ведется в рамках одномерной
модели;
2. Пренебрегаем всеми видами
диссипации энергии в потоке;

3.

3. пренебрегаем конвективными
производными
скорости,
плотности и давления, то есть
,
и
;
p
v
0
0
0
x
x
x

4.

4. Жидкость считается упругой и при
сжатии подчиняется закону Гука;
5. Деформация материала стенок так же
подчиняется закону Гука;
6. Деформация элемента трубопровода
между двумя сечениями, отстоящими
друг от друга на расстояние dx,
рассматривается независимо от
деформации соседних участков
трубопровода.

5.

С учетом этих, обычных для теории
гидравлического удара, допущений система
уравнений, описывающая процесс
гидравлического удара в цилиндрическом
трубопроводе с постоянным поперечным
сечением приобретает вид:
- уравнение движения (уравнение (1.8)):
p
v
gk
x
t

6.

уравнение
(уравнение (1.9)):
неразрывности
.
p
2 v
c
t
x

7.

Введем в эти уравнения вместо давления
пьезометрический напор
.
.
p
H z
g
Для этого установим связь между
конвективными и локальными
производными давления и
пьезометрического напора

8.

После различных преобразований
получим эти уравнения в виде:
- уравнение движения (1.21)
H
1 v
k
x
g t
- уравнение неразрывности (1.22)
H c v
t
g x
2

9.

Полученная система уравнений (1.21) и
(1.22) содержит две независимые
функции H(x,t) и v(x,t), определение
которых и составляет основную задачу
теории гидравлического удара.
Очевидно, что из этих уравнений можно
исключить одну из неизвестных величин
и получить уравнение второго порядка
относительно другой.

10.

Если уравнение (1.21) продифференцировать
по t а (1.22) по x и приравнять смешанные
производные, то система уравнений (1.21),
(1.22) сводится к одному
дифференциальному уравнению второго
порядка относительно v. Если проделать эти
же операции, продифференцировать
уравнений (1.21) по x а (1.22) по t, то система
этих уравнений сводится к одному
дифференциальному уравнению второго
порядка относительно H.

11.

Эти уравнения соответственно имеют вид:
v 1 v
0
2
2
2
x
c t
(1.23)
H 1 H
0
2
2
2
x
c t
(1.24)
2
2
2
2

12.

Аналогичным образом можно получить
уравнение относительно p, которое
имеет вид:
p 1 p
(1.24
)
0
1
2
2
2
x
c t
2
2
Полученные уравнения (1.23), (1.24) и
(1.241) представляют собой одномерные
волновые уравнения, методы решения
которых известны :

13.

g
x
v v0 F t
c c
x
H H 0 F t
c
(1.29)
(1.30)
где H0, v0 – соответственно пьезометрический
напор и скорость в установившемся режиме
до возникновения гидравлического удара; F
– функция определяемая из граничных
условий.

14.

2.3 Моделирование процесса
гидравлического удара
Теоретический расчет гидравлического удара
представляет собой сложную задачу,
поэтому при разработке ответственных
решений используют моделирование этого
процесса. При моделировании, то есть при
изучении на моделях таких процессов,
которые трудно или невозможно рассчитать
или экспериментально изучить в натурных
условиях, используется метод подобия
физических процессов.

15.

Процессы являются физически подобными, если
выполнены следующие три условия:
1) процессы являются качественно одинаковыми,
то есть они имеют одинаковую физическую
природу и описываются одинаковыми по форме
дифференциальными уравнениями;
2) условия однозначности этих процессов
одинаковы во всем, кроме численных значений
входящих в них размерных постоянных;
3) одноименные критерии (числа) подобия,
составленные из величин, являющиеся
определяющими для данных процессов, равны.

16.

Из второго условия следует, что
физически подобные процессы
всегда протекают в геометрически
подобных областях, то есть
геометрическое подобие систем, в
которых протекают процессы,
является необходимым условием
этих процессов.

17.

При моделировании процесса
гидравлического удара, как и любого другого
неустановившегося процесса, необходимо
обеспечить равенство следующих критериев
подобия для натуральной и модельной
систем:
число Рейнольдса
Re
vd

18.

число Эйлера
p
Eu 2
v
, (здесь р - перепад давлений в системе, под
действием которого осуществляется движение
жидкости);
число Cтрухаля (критерий гомохромности )
vt
Sh (H 0 )
L
(здесь L - характерный
линейный размер системы).

19.

Однако,
учитывая,
что
процесс
гидравлического
удара
является
волновым,
для
его
полного
моделирования
необходимо
также
обеспечить равенство чисел Эйлера и
Струхаля, рассчитанных по скорости
распространения фронта ударной волны
а:
,
.
p
Eu 2
c
ct
Sh (H 0 )
L

20.

При моделировании гидравлического удара
одновременное поддержание одинаковыми
все критерии подобия очень сложно, так как
это требует обеспечения подобия не только
гидродинамических, но и волновых
процессов. Поэтому часто используют
приближенное моделирование, при котором
обеспечивается равенство лишь некоторых
определяющих критериев подобия, выбор
которых зависит от конкретных целей
исследования и условий протекания
процесса.