Приложение к вопросу 02: вывод формулы Резерфорда

1. Кислицын А.А. Физика атома, атомного ядра и элементарных частиц

02.(1). Приложение к вопросу 02:
вывод формулы Резерфорда.

2.

Для удобства продублируем несколько слайдов
из предыдущей презентации
Схема опытов Резерфорда (Rutherford E.)
1- свинцовый контейнер, 2- источник альфа-частиц,
3- пучок альфа-частиц, 4- тонкая металлическая
фольга, 5- сцинтиллятор, 6- микроскоп, 7- глаз
наблюдателя.

3. Рассеяние частиц атомными ядрами.

О - центр рассеяния (ядро атома). Детектор с площадью рабочей поверхности dS регистрирует частицы, рассеянные под углом θ - (угол рассеяния), и
летящие внутри телесного угла dΩ.

4.

Количество частиц dN, летящих внутри телесного угла dΩ, и зарегистрированных детектором за единицу времени, равно:
dN = dσ·n1·v1·n2·V ,
(2.1)
где n1 - плотность частиц в налетающем пучке, v1 - их
скорость, n2 - число ядер в единице объема мишени, V - рабочий объем мишени, равный произведению площади поперечного сечения пучка на толщину мишени, если частицы пролетают сквозь мишень (в этом случае мишень называется "тонкая").
Если частицы останавливаются внутри мишени, то
площадь поперечного сечения пучка надо умножить на глубину проникновения частиц, в этом случае мишень называется "толстая". Коэффициент
dσ называется "эффективным сечением".

5.

Из формулы (2.1) находим эффективное сечение:
dN
d
n1v1n2V
(2.2)
Разделив обе части формулы (2.2) на dΩ, находим
характеристику, которая называется "дифференциальное эффективное сечение":
dN
d
d
d n1v1n2V
(2.3)
Проинтегрировав (2.2) или (2.3) по всему телесному
углу Ω, получаем величину, которая называется
"полное сечение":
d
N
(2.4)
d
d
d
n1v1n2V

6. Упругое рассеяние альфа-частиц на ядрах атомов (рассеяние Резерфорда)

7.

Для этого процесса (упругого рассеяния альфа-частиц на ядрах атомов) Э.Резерфорд получил формулу, носящую его имя (формула Резерфорда):
2
1 q1q2 d
d
(2.5)
2
4 4 0 mv sin 4
2
Обозначения: m, v - масса и скорость налетающей
частицы, q1 и q2 - электрические заряды налетающей частицы и ядра соответственно. Для альфачастицы q1 = 2e, для ядра q2 = Ze, e - элементарный
электрический заряд, по абсолютной величине
равный заряду электрона; Z - число протонов в ядре атома мишени, ε0 - электрическая постоянная.

8. Вывод формулы Резерфорда

Потенциальная энергия частицы
в поле ядра:
q1q2
U
4 0 r
m dr
2 d
Кинетическая энергия частицы: T r
2 dt
dt
2
Закон сохранения энергии имеет вид:
2
2
q1q2
m dr
2 d
T U r
E
2 dt
dt 4 0 r
где E = const – полная энергия частицы.
Закон сохранения момента импульса:
2 d
mr
dt
mvb
2
(2.6)
(2.7)
где b – прицельный параметр, v - скорость частицы
вдали от центра рассеяния.

9. Вывод формулы Резерфорда

d mvb vb
Из (2.7) находим:
2
2
dt mr
r
подставляем в (2.6):
m dr
2 d
E r
2 dt
dt
2
Отсюда:
2
2
2 2
q1q2
q1q2
m dr
v
b
2
r
4
dt
4 0 r
4
r
2
r
0
2 2
q1q2
2
vb
dr
2
E
4 0 r r
dt m
2
(2.8)
Чтобы получить уравнение траектории, исключаем
время:
dr dr d vb dr
2
(2.9)
dt
d dt
r d

10. Вывод формулы Резерфорда

Подставляем (2.9) в (2.8):
2
q1q2 v 2b 2
v b dr
2
2
E
4
r d m
4 0 r r
2 2
(2.10)
Делаем замену переменной:
1
dz
dr
dz
r
dr 2
2
z
z
d
z d
и подставляем в (2.10):
2
dz
q1q2
2E
2
z z
2 2
2 2
d mv b 2 0 mv b
(2.11)

11.

Дифференцируем (2.11) по :
dz d 2 z
dz
dz
q1q2
2
2
2z
2 2
d d
2 0 mv b d
d
или
2
q1q2
d z
(2.12)
z
2
2 2
d
4 0 mv b
Это линейное неоднородное дифференциальное
уравнение 2-го порядка. Его общее решение можно записать как сумму: любое частное решение
плюс общее решение однородного уравнения
2
d z
z 0
2
d
(2.13)

12.

Одно из частных решений уравнения (2.12) можно
найти сразу:
q1q2
z1
2 2
(2.14)
4 0 mv b
Уравнение (2.13) - это уравнение гармонических колебаний; вид его общего решения общеизвестен:
z0 A cos B sin
Таким образом, общее решение уравнения (2.12):
q1q2
(2.15)
z z0 z1 A cos B sin
2 2
4 0 mv b
Чтобы найти константы А и В, используем граничные
условия. При угле расстояние от частицы до
ядра r , следовательно, z = 0. Подставляя в
q1q2
(2.15), находим:
A
(2.16)
4 mv 2b 2
0

13.

Чтобы найти константу В, заметим, что ордината y
любой точки траектории связана с r и соотношением y = r sin , или
1
1
z
(2.17)
y r sin sin
С другой стороны, из (2.15) с учетом (2.16), находим:
1 cos
q1q2
q1q2
z
z
B
A cos
2 2
2 2
sin 4 0 mv b
sin 4 0 mv b
sin
Подставляя сюда (2.17), получаем:
1 cos
q1q2
1
B
2 2
y 4 0 mv b
sin
При угле ордината y b , а cos 1 ,
Отсюда
1
B
b
(2.18)

14.

Таким образом, уравнение, связывающее r и (т.е.
уравнение траектории частицы) можно записать в
q1q2
1 1
виде:
z sin
1 cos
2 2
(2.19)
r b
4 mv b
0
После рассеяния угол , расстояние от частицы до ядра r , поэтому из (2.19) в пределе
получаем 1
q1q2
sin
1 cos 0
2 2
(2.20)
b
4 mv b
0

15.

Используя тригонометрические тождества
1 cos 2 cos
2
; sin 2sin cos
2
2
2
запишем (2.20) в виде
q1q2
1
2
2sin cos
2 cos
2 2
b
2
2 4mv b 0
2
Отсюда получаем соотношение между углом рассеяния θ и прицельным параметром b:
или
q1q2
tg
2 4 0 mv 2b
(2.21)
q1q2
b
ctg
2
4 0 mv b
2
(2.22)

16. Для сравнения с опытом надо вычислить эффективное сечение рассеяния

Эффективное сечение равно площади кольца:
(2.23)
d 2 bdb
Дифференцируя уравнение (2.21), находим:
q1q2 db
d
1
d tg
2
2 2
2
2
cos
/
2
4
mv
b
0
Отсюда
4 0 mv 2b 2 d
db
2
2q1q2 cos / 2
(2.24)
(2.25)
Подставляя (2.22) и (2.25) в (2.23), получаем:
2
q1q2
d
d 2 b db
2
3
2
(2.26)
4
mv
tg
/
2
cos
/
2
0

17.

Подставляя в (2.26) формулу для телесного
угла
d 2 sin d 2 2sin cos
2
2
получаем в окончательном виде формулу
Резерфорда (2.5):
2
1 q1q2 d
d
2
4 4 0 mv sin 4
2