Потенциал электростатического поля

1. Потенциал электростатического поля

2.

Eq
+Q
2
1
dA F dr F dr cos( F , dr ) q E dr
kQ
q 2 dr
r
r
2
kQ
qQ
1
1
A q 2 dr k
kqQ( )
r
r
r2 r1
r1

3.

Работа поля по
перемещению
заряда равна убыли
потенциальной
энергии
A1 2 (U 2 U1 )
qQ
U k
Const
r
r , U 0, Const 0

4. Потенциал

U
q
Не зависит от q и
является
энергетической
характеристикой
поля, называемой
потенциалом

5.

Потенциал поля точечного заряда Q
Q
k
r
Потенциал – скалярная величина

6. Потенциал

Потенциал электростатического поля –
это потенциальная энергия единичного
положительного заряда в заданной
точке поля
Потенциал
электростатического поля –
это работа по перемещению единичного
положительного заряда из заданной
точки в бесконечность

7. Разность потенциалов

Разность потенциалов – это работа по
перемещению единичного положительного
заряда из одной точки поля в другую
A1 2 (U 2 U1 ) U1 U 2 q( 1 2 )
2
A1 2
1
2
F dr q E dr
1
2
E
d
r
1
2
1

8. Принцип суперпозиции для потенциала

Потенциал поля,
создаваемого
системой зарядов,
равен
алгебраической
сумме потенциалов,
создаваемых
каждым из зарядов
по отдельности
N
i
i 1
N
Qi
4 0 i 1 ri
1

9. Пример

Найти потенциал поля, создаваемого
разноименными зарядами в точке, удаленной
от обоих зарядов на такое же расстояние,
что и между ними
N
-Q
а
+Q
а
а
N
Qi
i
4 0 i 1 ri
i 1
Q Q
( ) 0
a a
4 0
1
А
1

10. Эквипотенциальные поверхности – графический способ изображения электростатического поля

Эквипотенциальные
поверхности – это
поверхности во всех
точках которых
потенциал имеет одно
и тоже значение
const

11. Эквипотенциальные поверхности

Эквипотенциальные поверхности
проводят так, что разность потенциалов
между соседними поверхностями
одинакова
Густота эквипотенциальных поверхностей
характеризует напряженность
электростатического поля
Линии
напряженности всегда
перпендикулярны эквипотенциальным
поверхностям

12. Пример

Q
k
r
+q
E
φ3
φ2
φ1
1 2 2 3

13.

Будем перемещать
пробный заряд
вдоль
эквипотенциальной
поверхности
1
2
+q
E

14.

2
E dr 1 2
1
2
1
E dr cos E , dr 1 2
1 2 0
E 0 , dr 0
cos E , dr 0
E dr

15. НАПРЯЖЕННОСТЬ КАК ГРАДИЕНТ ПОТЕНЦИАЛА

16.

i , j, k
Единичные орты осей
z
k
x
i
j
y

17.

Пусть пробный заряд перемещается в
электрическом поле вдоль оси Х
E
Y
dr dx i
i
Х1
Х2
dx x2 x1
Х

18.

2
E dr 1 2 d
2
1
1
E dr Ex dx E y dy Ez dz
Ex dx
2
2
1
1
d
E
dx
x
d
Ex
dx

19.

Аналогично, перемещая заряд вдоль
оси Y и оси Z
d
Ey
dy
d
Ez
dz
В общем случае
d
d
d
E
i
j
k
dy
dz
dx

20.

E grad
Градиент – это вектор
grad
i
j
k
x
y
z
Знак (-) означает , что напряженность
направлена в сторону убывания
потенциала

21.

E
E
E
+q
grad
E

22. ТЕОРЕМА О ЦИРКУЛЯЦИИ ВЕКТОРА НАПРЯЖЕННОСТИ

1 1
A kqQ( )
r2 r1

23.

Работа не зависит от траектории
перемещения заряда, определяется
только положениями начальной и
конечной точек
Электростатическое поля является
потенциальным
При перемещении по замкнутой
траектории работа равна 0

24.

dA
0
L
q
(
E
d
r
)
0
dr dl
L
(
E
d
)
L
Циркуляция вектора
напряженности

25. Циркуляция в любом электрическом поле равна 0

Циркуляция E в любом
электрическом поле равна 0
- теорема о циркуляции
(
E
d
)
0
L

26. Объемное распределение заряда

Объемная плотность заряда
( x, y , z )
dq ( x, y, z )dV
( x, y, z )dxdydz
q ( x, y, z )dxdydz
V

27. Поверхностное распределение заряда (плоскость)

Поверхностная плотность заряда
( x, y )
dq ( x, y )dS
( x, y )dxdy
q ( x, y )dxdy
S

28. Линейное распределение заряда (линия)

Линейная плотность заряда
(x )
dq ( x)dx
q ( x)dx

29.

Q
E k 3 r
r
( x, y, z )r dV
E
3
r
( x, y )r dS
E
3
r
S
( x)r dx
E
3
r
V

30. ПРИМЕР

Напряженность и потенциал
электрического поля в центре
однородно заряженного кольца
(заряд +Q, радиус кольца R)

31.

Разбиваем кольцо на элементарные
заряды
dq
dE
dE
dq
E dE
E 0

32.

d
kdq
d
R
kdq
k
k
dq Q
R
R
R

33. НАПРЯЖЕННОСТЬ ПОЛЯ НА ОСИ ТОНКОГО КОЛЬЦА

dE
НАПРЯЖЕННОСТЬ ПОЛЯ НА
ОСИ ТОНКОГО КОЛЬЦА
E
dE
А
X
dE x
dE x
z
dq
R
dEx 0

34.

E dE y
dE y dE cos
dE y
R
z
dE
cos
z
R z
2
kdq
dE 2
2
R z
2

35.

E
z
R z
2
2
k z Q
R
2
z
2
2
3
kdq
2
2
R z

36.

Найдем потенциал
E grad
i
j
k
y
z
x
k
z

37.

Edz
k z Q
R
2
z R u
2
2
du d z R 2zdz
2
kQ
2
z
2
3
1
2
3
kQ
u
du
3
3
2 u 2
2
2 1
1
kQ
kQ u 2
1
2
2
R z
2
2
dz
2

38. ПОЛЕ БЕСКОНЕЧНОЙ НИТИ НА РАССТОЯНИИ r от нее

dq
dq
X
dE
dE y dE cos
r
A
dEY
dE
Линейная плотность заряда нити - λ
E
x
E dE y

39.

cos
r
r x
2
2
kdq
dq
dx
dE 2
2
r x
k dx
r
E
2 2 r 2 x2
r x
r
r
2
x
2
2
3
k dx

40.

2k r
0
dx
r
2
x
2k
E
r
2
3
2

41.

Потенциал поля бесконечной нити
E grad
Для полей с радиальной
симметрией
Er
r
2k
dr
Edr
r
2k ln r Const