Инвестиции в портфель облигаций

1. Тема 3. Инвестиции в портфель облигаций

2.

Дюрация и показатель выпуклости портфеля
P1, P2 ,..., Pm - цены облигации (t = 0)
V j - сумма, затраченная на приобретение облигации j
- го
вида (j = 1,2,…,m)
(V1,V2 ,...,Vm )
V
- портфель облигаций
m
V j
- стоимость портфеля
j 1
kj
xj
Vj
- количество облигаций j – го вида
Pj
Vj
V
m
- доля облигаций j – го вида
xj 1
j 1

3.

Ci j- платеж по облигации j – го вида в момент
ti
(j = 1,…,m; i = 1,…,n)
R1, R2 ,..., Rn- платежи по портфелю в моменты времени
t1, t2 ,..., tn
Ri
m
Vj
P
j 1 j
Cij
i 1,2,..., n
(1)
Пример 8.1. Сформировать портфель
(2000, 3000, 2000) из
облигаций трех видов, потоки платежей по которым указаны в
таблице. Определить поток платежей от этого портфеля

4.

Платеж, д.е.
Облигация
Срок, годы
0
В1
- 850
В2
- 290
В3
- 990
0,5
1,0
1,5
2,0
1035
10
10
90
330
1100

5.

P1 850 P2 290 P3 990
V1 2000 V2 3000 V3 2000
3000
R1
10 103,448
290
3000
2000
R2
10
90 285,266
290
990
3000
R3
330 3413,793
290
2000
2000
R4
1035
1100 4657,516
850
990

6.

(2000,3000,2000)
Срок,
годы
Платеж,
д.е.
0
0,5
1,0
1,5
2,0
- 7000
103,448
285,266
3413,793
4657,516
• Определение. Дюрацией D p и показателем выпуклости C p
портфеля облигаций называется дюрация и показатель
выпуклости облигации, эквивалентной портфелю. Тогда
1
DP
V
1
CP
V
n
Ri
ti (1 r )t
i 1
n
(2)
i
Ri
ti (ti 1) (1 r)t
i 1
i
(3)

7.

Меры доходности портфеля
• - средневзвешенная доходность
m
rср x j rj
(4)
j 1
xj
Vj
V
• - внутренняя ставка доходности
V
R1
(1 rp )
t1
...
Rn
(1 rp )
tn
(5)

8.

Пример 2. Для портфеля облигаций (2000,
3000, 2000) из
примера 1 рассчитать rcp и rp , если внутренние доходности
облигаций В1, В2, В3 равны соответственно: r1 = 0,10347;
r=2 0,13798;
r=30,10053.
Решение
2000
3000
2000
rср
r1
r2
r3 0.1174
7000
7000
7000
700
103,448
(1 rp )0,5
285,266 3413,793 4657,516
1,5
(1 rp ) (1 rp )
(1 rp )2

9. Свойства дюрации и показателя выпуклости портфеля облигаций

Пусть дан портфель
• Первое свойство
(V1,V2 ,...,Vm )
DP
CP
xj
Vj
V
m
x jDj
j 1
(6)
m
xjCj
j 1
(7)
- доля облигаций j-го вида

10.

• Доказательство.
1
DP
V
n
Ri
1
ti (1 r)ti V
i 1
Vj 1
j 1 V Pj
m
1
CP
V
m
ti
(1 r)t
i 1
Ci j
Ri
xjDj
j 1
n
ti (ti 1)
(1 r)t
i 1
ti (ti 1) (1 r )ti
i 1
Ci j
Ci j
m
1
ti (ti 1) (1 r)ti V
i 1
n
Vj
j 1 Pj
i
ti (1 r )ti
i 1
n
n
Vj 1
j 1 V Pj
m
n
i
m
x jC j
j 1
m
Vj
j 1 Pj
Ci j

11.

• Второе свойство
DP
min D j
j
CP
min C j
j
max D j
j
max C j
j
• Доказательство
DP
DP
m
m
j 1
j 1
m
m
j 1
j 1
D j x j max D j
x j D j max
j
j
D j x j min D j
x j D j min
j
j

12.

• Третье свойство
Если число
Dтаково, что
min D j D max D j , то всегда
j дюрация которого
j
можно сформировать портфель,
равна
(портфель
D с заранее заданным значением дюрации)
• Доказательство
m
x jD j D
j 1
m
xj 1
j 1
xj 0
Если
(8)
j 1,2,..., m
, где
D D
k
k {1,..., m,} то
x1 0, x2 0,..., xk 1, xk 1 0,..., xm 0

13.

Если
Dk D Dk 1 , то
Dk 1 D
D Dk
x1 0,..., xk
, xk 1
,..., xm 0
Dk 1 Dk
Dk 1 Dk
Четвертое свойство
V
r
DP
V
1 r
r
V
r
1
DP
CP
V
1 r
2
1
r
(9)
2
(10)

14.

f
m
x jC j min
x
j 1
j
m
x jD j D
j 1
m
xj 1
j 1
x j 0,
(11)
j 1,..., m
• Пятое свойство. Если заданное значение дюрации портфеля
удовлетворяет условию min D j D max D j
, то
j
j
задача линейного программирования
(8.11) разрешима.

15.

Пусть T лет – срок, на который сформирован портфель облигаций
(инвестиционный горизонт). Для оценки портфеля через t лет
после покупки, где t [0, T ] , используем понятие стоимости
инвестиции в портфель в момент t.
V ( r, t ) - планируемая стоимость инвестиции в портфель в момент t [0, T ]
t [0, T
V ( r, t ) - фактическая стоимость инвестиции в портфель в момент
V ( r, t )
i ; ti t
V ( r, t )
i ; ti t
Ri (1 r )
t ti
Ri (1 r )
V ( r, t ) Rt ( r ) Pt ( r )
V ( r, t ) Rt ( r ) Pt ( r )
t ti
i ; ti t (1
Ri
r)
ti t
Ri
ti t
(1
r
)
i ; ti t
(12)
(13)

16.

V ( r, t ) V ( r )(1 r )t
(15)
V ( r, t ) V ( r )(1 r )t
(14)
Иммунизирующее свойство дюрации портфеля
Пусть D p D p ( r ) – дюрация портфеля облигаций в момент
t=0
t Dp
Тогда в момент времени, равный дюрации портфеля
V ( r, D p ) V ( r, D p )
для любых значений
r
(16)

17.

Чтобы сформировать иммунизированный портфель с
инвестиционным горизонтом T лет, необходимо решить
систему:
m
x jD j T
j 1
m
xj 1
j 1
x j 0, j 1,2,..., m
(17)

18.

Пример 8.3. Портфель формируется из купонных облигаций двух
видов, характеристики которых на момент покупки портфеля (t = 0)
приведены в таблице:
Облигация
N, д.е.
номинал
g
купонная
ставка
p
количество
купонных
выплат в
год
T, (годы)
срок
гашения
А1
100
5%
2
2
А2
100
8%
1
2
В облигации первого вида инвестировано 4000 д.е., в облигации
второго вида – 6000 д.е. В момент покупки портфеля безрисковые
процентные ставки для инвестиций на все сроки одинаковы и равны
9% годовых. Сразу после формирования портфеля процентные ставки
снизились до 8% годовых, и затем уже не изменялись.

19.

• Решение
• Облигация А1
№
плат
ежа
Срок
плате
жа
Сумма
платежа
1
0,5
2,5
2
1,0
3
4
Ci (0)
P( r )
Ci (0)
P( r )
ti (ti 1)
2,3946
0,02570 0,01285
0,01928
2,5
2,2936
0,02462 0,02462
0,04924
1,5
2,5
2,1968
0,02358 0,03537
0,08843
2,0
102,5
86,2722 0,92609 1,85219
5,55656
Сумма
93,1571 1,00000 1,925
5,713
ti
Ci (0)
Ci
ti
Ci (0)
P( r )

20.

• Облигация А2
№
плат
ежа
Срок
плате
жа
ti
Сумма
платеж
а
Ci (0)
Ci (0)
P( r )
Ci (0)
ti
P( r )
ti (ti 1)
Ci
1
1
8
7,339
0,075
0,075
0,149
2
2
108
90,901
0,925
1,850
5,551
Сумма
98,240
1,000
1,925
5,700
P1 93,157
C1 5,713
P2 98,241
C2 5,701
(4000,6000)
V1 4000, V2 6000
• Портфель
D1 1,925
Ci (0)
P( r )
D2 1,925
V 10000

21.

Срок платежа
ti
Сумма платежа
Ri
0,5
1,0
1,5
2,0
107,345
595,940
107,345
10997,195

22.

• Решение
Портфель
№
плат
ежа
Срок
плате
жа
1
0,5
2
Сумма
платежа
Ri (0)
V (r)
Ri (0)
V (r)
ti (ti 1)
107,345 102,82
0,01028 0,00514
0,00771
1,0
595,940 546,73
0,05467 0,05467
0,10935
3
1,5
107,345 94,33
0,00943 0,01415
0,03537
4
2,0
10997,1 9256,12 0,92561 1,85122
95
5,55367
Сумма
5,70610
ti
Ri (0)
Ri
10000,0 1,000
D p 1,92518, C p 5,7061
ti
1,92518
Ri (0)
V (r)

23.

xj
Vj
V
, j 1,2
DP
x1 0,4; x2 0,6
m
x j D j 0,4D1 + 0,6D2 =
j 1
=0,4 1,925032 + 0,6 1,925291 = 1,925187
CP
m
x jC j 0,4C1 +0,6C2 =
j 1
=0,4 5,71351+0,6 5,70117 = 5,70610

24.

r 9%
r 0.01 D p 1.925 C p 5.706
2
0,01
V
( 0,01) 1
1,925187
5,70610
0,0179
V
1 0,09 2
1 0,09
V V (0.08) V (0.09)
V V (0.09) 10000
V(0,08) = V(0,09) + V(0,09)· 0,017902 = 10179,02
V (0.09,2) V (0,09)(1 0,09)2 11881,00
V (0.08;2) 107,345(1 0,08)1,5 595,940(1 0,08)
107,345(1 0,08)0,5 10997,195 11872,85

25.

Так как V(0,08;2) < V(0,09;2), то в момент t=2 портфель не
иммунизирован
V (0.09, D p ) V (0.09)(1 0,09)1,925 11804,647
V (0.08, D p ) 107,345(1 0,08)1,925 0,5 595,940(1 0,08)1,925 1
1,925 1,5
107,345(1 0,08)
10997,195
(1 0,08)
2 1,925
Так как
V (0.08, D p ) V (0.09, D p )
то в момент
t D p портфель иммунизирован
11804,683