Использование компьютерных технологий для реализации решений систем линейных уравнений

1. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КОМПЬЮТЕРНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ ДЛЯ РЕАЛИЗАЦИИ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Индивидуальный проект
на тему:
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КОМПЬЮТЕРНЫХ
ТЕХНОЛОГИЙ ДЛЯ РЕАЛИЗАЦИИ РЕШЕНИЙ
СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Автор: Валавин С.Д.
обучающийся 1 курса, гр. 132к
Научный руководитель:
Бакунова А. А.
Челябинск, 2021

2. Актуальность исследования

В наше время невозможно представить себе какую-либо область деятельности, обходящуюся без
применения компьютерной техники. Компьютеры используются при проведении различных
инженерных расчётов, при решении экономических задач, в процессе управления производством, при
получении оценок производственных ситуаций и во многих других случаях. Решение систем
линейных алгебраических уравнений является одной из основных задач линейной алгебры. Эта задача
имеет важное прикладное значение при решении научных и технических проблем. Кроме того,
является вспомогательной при реализации многих алгоритмов вычислительной математики,
математической физики, обработки результатов экспериментальных исследований. Алгебраическое
уравнение называется линейным, если оно содержит переменные только в первой степени и не
содержит произведений переменных.

3. Цель и задачи

Изучить технологии для реализации и решений систем линейных
уравнений, узнать, как они работают.
1. Узнать, когда появились технологии для реализации и решений систем линейных уравнений и их
историю.
2. Почему появились технологии для реализации и решений систем линейных уравнений;
3Узнать сколько технологии для реализации и решений систем линейных уравнений существует и их
различия
4. Разобраться как работают технологии для реализации и решений систем линейных уравнений;
5. Разобраться как работают технологии для реализации и решений систем линейных уравнений;
6. Актуальна ли реализация и решение систем линейных уравнений;

4. Численные методы решение систем линейных уравнений

Из школьного курса алгебры нам известно три способа решения уравнений:
— графический;
— метод сложения;
— метод подстановки.
• Матрица – прямоугольная таблица, составленная из чисел.
Пусть дана квадратная матрица 2 порядка: Определителем (или
детерминантом) 2 порядка, соответствующим данной матрице, называется
число. Определитель (или детерминант) 3 порядка, соответствующим
матрице называется

5. Пример решения методом обратной матрицы

Из уравнения, которое мы
получили, необходимо
выразить X X. Для этого
нужно умножить обе части
матричного уравнения слева
на A − 1 A-1: A − 1 × A × X
= A − 1 × B A-1×A×X=A1×B. Так как А − 1 × А = Е
А-1×А=Е, то Е × X = А − 1 ×
В Е×X=А-1×В или X = А −
1 × В X=А-1×В.

6. Метод Крамера

Метод Крамера предназначен для того, чтобы
решать системы линейных алгебраических
уравнений (СЛАУ), в которых число
неизвестных переменных равняется числу
уравнений, а определитель основной матрицы
не равен нулю.

7. Метод Крамера

1. Необходимо вычислить определитель
матрицы системы и убедиться, что он
не равен нулю.
2. Найти определители
3. Вычислить неизвестные переменные
при помощи формул:
4. Выполнить проверку результатов: если
все определители являются
тождествами, то решение найдено
верно.

8. Метод гаусса

Метод Гаусса — это метод, который применяется при решении систем
линейных алгебраических уравнений и имеет следующие преимущества:
• отсутствует необходимость проверять систему уравнений на
совместность;
• есть возможность решать системы уравнений, где: количество
определителей совпадает с количеством неизвестных переменных;
• количество определителей не совпадает с количеством неизвестных
переменных;
• определитель равен нулю.
• результат выдается при сравнительно небольшом количестве
вычислительных операций.

9. Метод Гаусса

Если b1=b2=...=bn=0,
то такую систему
линейных уравнений называют
однородной, если наоборот —
неоднородной.

10. Программы для решения СЛАУ

Во все времена инженерам, исследователям был необходим удобный и достаточно
эффективный инструмент для решения своих задач. В этот «инструментальный» ряд можно
включить логарифмическую линейку, арифмометр, калькулятор, универсальную ЭВМ,
персональный компьютер. При использовании вычислительной техники встала проблема
реализации алгоритмов решения в виде так называемых программ. Для решения этой
проблемы в различные годы использовались следующие средства:
- программирование в машинных кодах;
- программирование на языках высокого уровня;
- системы компьютерной математики.
Разработка программы требует и соответствующей подготовки, и достаточно большего
количества времени. Поэтому, начиная с 90-х годов прошлого века, широкую известность и
заслуженную популярность приобрели так называемые системы компьютерной математики
или, проще, математические пакеты.
Для решения СЛАУ существует множество программных средств: MathCad, Mathematica,
MatLab

11. MathCAD

• MathCAD -- математически ориентированные
универсальные системы. Помимо собственно
вычислений они позволяют с блеском решать задачи,
которые с трудом поддаются популярным текстовым
редакторам или электронным таблицам. С их
помощью можно не только качественно подготовить
тексты статей, книг, диссертаций, научных отчетов,
дипломных и курсовых проектов, они, кроме того,
облегчают набор самых сложных математических
формул и дают возможность представления
результатов, в изысканном графическом виде.
• С момента своего появления системы класса
MathCAD имели удобный пользовательский
интерфейс -- совокупность средств общения с
пользователем в виде масштабируемых и
перемещаемых окон, клавиш и иных элементов. У
этой системы есть и эффективные средства типовой
научной графики, они просты в применении и
интуитивно понятны. Словом, системы MathCAD
ориентированы на массового пользователя -- от
ученика начальных классов до академика.

12. MathLab

• MatLab -- язык программирования и
система научных и инженерных
расчетов, построенная на основе
интерпретатора этого языка. Matlab,
сокращение от «Matrix Laboratory»,
предназначен в первую очередь для
выполнения алгоритмов,
использующих векторы и матрицы.
• Matlab имеет большое число пакетов
(toolboxes) -- как собственных, так и
распространяемых независимыми
разработчиками часто на условиях
открытого кода. В Matlab включен
Simulink -- визуальный редактор для
моделирования динамических систем.

13. Mathematica

• В конце прошлого века получила широкое
распространение и сейчас быстро развивается система
Mathematica. Ее успех в значительной степени
объясняется ее широкими графическими
возможностями, а также электронной документацией,
которую можно рассматривать как электронную
библиотеку, посвященную различным разделам
математики и информатики. Mathematica имеет
высокую скорость и практически не ограниченную
точность вычислений, что позволяет ей работать как
на очень мощных компьютерах, так и не очень
сильных персональных компьютерах. Огромным
достоинством программы Mathematica является
справочная система. Она включает в себя не только
очень качественное описание функций с примерами, а
также учебник. В ней есть все материалы для тех кто
только начинает работу с приложением, и для тех кто
работает с ней очень давно.

14. Лендинговая страница

15. Заключение

Мы узнали когда появились технологии для реализации и решений систем
линейных уравнений и их историю. Выяснили почему появились технологии
для реализации и решения систем линейных уравнений. Узнали сколько
технологий для реализаций и решений систем линейных уравнений
существует и их различия. Разобрались как работают технологии для
реализации и решений систем уравнений. Узнать какое образование нужно
чтобы работать в этой отрасли. Актуальна ли реализация и решение система
линейных уравнений. Задачи выполнены, цель достигнута.

16. Список литературы

1)Гастон, Дарбу Лекции по общей теории поверхностей и геометрические приложения анализа бесконечно малых. Том II. Конгруэнции и линейные
уравнения в частных производных. Линии на поверхностях / Жан Дарбу Гастон ; перевод В. В. Шуликовская. — Москва, Ижевск: Регулярная и хаотическая
динамика, Ижевский институт компьютерных исследований, 2013. — 580 c. — ISBN 978-5-4344-0119-7. — Текст: электронный // Электронно-библиотечная
система IPR BOOKS: [сайт]. — URL: https://www.iprbookshop.ru/28893.html (дата обращения: 20.12.2021). — Режим доступа: для авторизир.
2) Головко, О. В. Высшая математика. Часть I. Матрицы и определители. Системы линейных уравнений. Векторная алгебра и аналитическая геометрия:
учебное пособие / О. В. Головко, Г. Н. Дадаева, Е. В. Салтанова. — Кемерово: Кемеровская государственная медицинская академия, 2006. — 56 c. — Текст:
электронный // Электронно-библиотечная система IPR BOOKS: [сайт]. — URL: https://www.iprbookshop.ru/6111.html (дата обращения: 20.12.2021). — Режим
доступа: для авторизир.
3) Изюмов, А. А. Компьютерные технологии в науке и образовании: учебное пособие / А. А. Изюмов, В. П. Коцубинский. — Томск: Томский
государственный университет систем управления и радиоэлектроники, Эль Контент, 2012. — 150 c. — ISBN 978-5-4332-0024-1. — Текст: электронный //
Электронно-библиотечная система IPR BOOKS: [сайт]. — URL: https://www.iprbookshop.ru/13885.html (дата обращения: 20.12.2021). — Режим доступа: для
авторизир.

17. Спасибо за внимание!