Две частицы

1.

Задача
Имеются две невзаимодействущие частицы, каждая из которых находится в состоянии с
определённым моментом орбитального импульса l=1. В то же время система из этих частиц
обладает определёнными значениями квадрата полного момента импульса и проекции полного
момента импульса на ось Oz
ˆ ˆ ˆ
L l1 l2 , Lz M l1z l2 z
Измеряются проекции момента импульса каждой частицы на ось Oz. Найти вероятности
измерения возможных значений указанных величин. Рассмотреть все возможные значения
полного момента L.

2.

«Взбадривающий» вопрос
Таблица соответствия
j1z , j2 z
jz j1z j2 z
j
j1z 1, j2 z 1
jz 2
j 2
jz 1
j 2
j 1
jz 0
j1z 1, j2 z 1
j 2
j 1
j 0
j1z 1, j2 z 0
j1z 0, j2 z 1
jz 1
j 2
j 1
j1z 1, j2 z 1
j z 2
j 2
j1z 1, j2 z 0
j1z 0, j2 z 1
j1z 1, j2 z 1
j1z 0, j2 z 0
j
Почему одному возможному значению
соответствует несколько возможных значений
z
Иначе говоря, почему возникает «вырождение»
по
?
jz
j
j?

3.

Обозначения, используемые в дальнейшем
Lz M , l1z m1 , l2 z m2
Два набора квантовых чисел, описывающих возможные состояния системы
l1 , l2 , L, M
l1 , l2 , m1 , m2
l1 1, l2 1, m1 , m2 m1 , m2 m1
0,0 , 1, 1 , 1,1
1,0 , 0,1
1,0 , 0, 1
1
m2
2
M 0
M 1
M 1
1,1
M 2
1, 1
M 2
l1 1, l2 1, L, M L, M
0,0 , 1,0 , 2,0
1,1 , 2,1
1, 1 , 2, 1
2,2
2, 2

4.

Формальное решение
Принцип суперпозиции
LM Cm1 m2 m1 m2
m1 m2
Домножим справа и слева на бра-вектор
m1m2
Результат?

5.

Результат
m1m2 LM Cm1 m2 m1m2 m1 m2 Cm1 m2 m1m1 m2m2
m1 m2
m1 m2
Или
Cm1m2 m1m2 LM
Искомая вероятность
w m1, m2 m1m2 LM
2
Как и в предыдущей задаче, надо придать явный смысл знакам Дирака. Работать будем в матричном
ll z -представлении.

6.

Кет-векторы в матричном представлении
0 0 1 0 0 1
0,0 0 1 0 2 , 1, 1 1 1 1 2 , 1,1 1 1 1 2 1 1 , 0 0 , 0 0
0 0 0 1 1 0
1 2 1 2 1 2
1 0 0 1
1,0 1 1 0 2 , 0,1 0 1 1 2 0 1 , 1 0
0 0 0 0
1 2 1 2
0 0 0 0
1,0 1 1 0 2 , 0, 1 0 1 1 2 0 1 , 1 0
1 0 0 1
1 2 1 2
1 1 0 0
1,1 1 1 1 2 , 1, 1 1 1 1 2 0 0 , 0 0
0 0 1 1
1 2 1 2

7.

Обозначения
В дальнейшем для краткости будем использовать обозначение
0 0
1, 1 llz 1, 1 0 0
1 1
1 2

8.

Матрицы понижающих операторов в представлении
0 0 0
lˆi 2 1 0 0
0 10
0 0 0
ˆ
ˆ
ˆ
L l1 l2 2 1 0 0
0 1 0
l1l1z l2l2 z
i
0 0 0
1 0 0
0 10
1
2

9.

Состояние с максимальными значения квантовых чисел
L 2, M 2 Cm1 m2 m1 m2 m1 1, m2 1
m1 m2
Действуем на левую часть понижающим оператором
Lˆ L 2, M 2 ?
Найти результат действия, используя общую формулу
ˆj jjz ( j jz )( j jz 1) jjz 1

10.

Результат
ˆj jjz ( j jz )( j jz 1) jjz 1
ˆj Lˆ , j L 2, jz M 2
Lˆ L 2, M 2 2 L 2, M 1
Теперь действуем суммой понижающих операторов на правую часть
Lˆ L 2, M 2 lˆ1 lˆ2
C
m1 m2
m1 m2
m1 m2 lˆ1 lˆ2 1 1 1 2
Результат действия?

11.

Результат действия?
lˆ
ˆ
l
1
2
0 0 0
1 1 1 2 2 1 0 0
0 1 0
0 0 0
1 0 0
0 10
1
1 1
0 0
0 0
2 1 2

12.

Результат действия
Lˆ L 2, M 2 2 L 2, M 1 lˆ1 lˆ2 1 1 1 2
0 0 0
2 1 0 0
0 1 0
0 0 0
1 0 0
0 10
1
0 1 1 0
1 1
0 0 2 1 0 0 1
0 0
0 0 0 0
2 1 2
1
2
1
2
Или
0 1 1 0
1 1
L 2, M 1
1 0 0 1
0 1 1 2 1 1 0 2
2
2
0 0 0 0
1
2
1
2

13.

Рассмотрим состояние
L 2, M 0
Схема вычисления такая же, как и прежде
Lˆ L 2, M 1 lˆ1 lˆ2
0 1 1 0
1
1 0 0 1
2
0 0 0 0
1
2
1
2
Результат?

14.

Результат
0 1 1 0
0 0
1 2
L 2, M 0
0 0 0 0
1 1
6
6
1 0 0 1
0 1 0 2
1
2
1
2
Теперь рассмотрим состояние
L 1, M 1
Понижающий оператор не поможет – он уменьшает проекцию, но не квадрат полного момента!
Что делать?

15.

Кет-векторы с разными квантовыми числами ортогональны друг другу (вырождения нет)
L 2, M 1 L 1, M 1 0
Найти результат?

16.

Принцип суперпозиции
0 1
1 0
L 1, M 1 A 1 0 B 0 1
0 0
0 0
1 2
1 2
0 1 1 0
1
L 2, M 1
1 0 0 1
2
0 0 0 0
1
2
1
2
Подставить в
L 2, M 1 L 1, M 1 0
A ?, B ?

17.

Перемножаем
L 2, M 1 L 1, M 1
0 1
1 0
1
01 0 1 1 0 0 2 1 0 0 1 01 0 2 A 1 0 B 0 1 0
2
0 0
0 0
1 2
1
2
Результат?
A ?, B ?

18.

Результат
A B
1
2
0 1 1 0
1
L 1, M 1
1 0 0 1
2
0 0 0 0
1
2
1
2
Найти кет-векторы всех остальных состояний