Арифметическая прогрессия

1.

2. Арифметическая прогрессия

Определение. Арифметическая прогрессия –
это числовая последовательность, где
каждый последующий член равен
предыдущему, сложенным с одним и тем
же числом d.
Число d называется разностью
арифметической прогрессии.

3. Арифметическая прогрессия

• Если d>0 — арифметическую прогрессию
называют возрастающей;
• Если d<0 — арифметическую прогрессию
называют убывающей;
• В случае, если d=0 — все члены прогрессии
равны числу a, то арифметическую
прогрессию называют стационарной.

4.

ФОРМУЛА
n-го члена арифметической прогрессии
4

5.

Дано : а1 6,
Пример 1.
d 4
Найти : а100
Решение
аn a1 (n 1)d
а100 6 (100 1) * 4 390
Ответ: 390
02.06.2022
5

6. Решаем

В арифметической прогрессии, первый член
которой равен -3,4, а разность равна 3, найдите
пятый и одиннадцатый члены.
Решение:
Для нахождения n-ого члена арифметической
прогрессии воспользуемся формулой:
an = a1 + (n-1)d.
Имеем:
a5 = a1 + (5 – 1)d = -3,4 + 4 · 3 = 8,6;
a11 = a1 + (11 – 1)d = -3,4 + 10 · 3 = 26,6.
Ответ: 8,6 и 26,6

7.

7

8.

Пример 4.
Дано : а8 130, а12 166
Найти: формулу n-го члена
Решение.
аn a1 (n 1)d
а8 а1 (8 1)d а1 7d
а12 а1 (12 1)d а1 11d
02.06.2022
8

9.

а1 7d 130
а1 7d 130
а1 11d 166
а1 11d 166
а1 130 7d
d 9
02.06.2022
- 4d = -36
4d =36
а1 67
d 9
d=9
аn
67 + 9(n – 1) = 9n + 58
9

10.

Свойство арифметической прогрессии
an 1 an 1
an
2

11. Решаем

(аn) – арифметическая прогрессия
а10 = 8, а12 = -2. Найдите а11.
Решение:
Согласно характеристическому свойству
арифметической прогрессии:
аn= (аn+1+ аn-1)/2;
Имеем а11 = (8 – 2)/2=3
Ответ: а11= 3

12. Арифметическая прогрессия.

Пример.
Найти такие х, что 3х+2; x-1; 4x+3 –три последовательных члена
арифметической прогрессии.
Решение.
Воспользуемся нашей формулой
Проверим, наши выражения примут вид:-2,2;-2,4;-2,6
Очевидно, что это члены арифметической прогрессии и d=-0.2

13. Решаем

Пятый член арифметической прогрессии на 15
меньше второго. Сумма третьего и седьмого её
членов равна -6. Найдите третий и четвёртый
члены этой прогрессии.
Решение: составим систему уравнений
а2-а5=15,
а3+а7=-6;
d=-5,
а1=17;
а1+ d - (а1+ 4d)=15,
(а1+2d) + (а1+6d) =-6;
Итак: а3 = а1+2d, т.е. а3=7,
а4 = а3+d, а4=2.
Ответ: а3=7, а4=2.

14. Арифметическая прогрессия.

Пример.
При делении девятого члена арифметической прогрессии на второй
член в частном остается 7, а при делении девятого члена на пятый в частном
получается 2, а в остатке 5. Найти тридцатый член прогрессии.
Решение.
Запишем последовательно формулы 2,5 и 9 членов нашей
прогрессии.
Так же из условия знаем:
Или:
Составим систему уравнений:
Найдем
Решив систему получаем:

15.

Формула СУММЫ n-первых членов
прогрессии
a1 an
2a1 d (n 1)
Sn
n ; Sn
n.
2
2

16. Тренировочные упражнения:

1. (an) – арифметическая
прогрессия.
a1 = 6, a5 = 26. Найти S5.

17. Решение: Sn = (а1+а5) : 2 × 5 Теперь вычислим сумму пяти первых членов арифметической прогрессии: S5 = (6+26) : 2 × 5=80.

Ответ: 80.

18. 2. (an) – арифметическая прогрессия. a1 = 12, d = - 3. Найти S16.

19. Решение: S16 = (а1+а16):2×16 Заметим, что в данной прогрессии не задан последний член этой суммы. Найдем 16 член прогрессии:

а16 = 12+ 15×(-3) =12+(-45) =-33
Теперь вычислим сумму: S16 = (12+ (-33)) ×16: 2 =
(-21) ×8 = -168. Ответ: -168.
При решении таких задач можно воспользоваться
второй формулой
S16 =(2а1 +d( n -1)):2×16 =(2×12+15×(-3)):2×16 =21:2×16 = -168. Ответ: - 168.

20. Пример 1

Найдите сумму первых 20 членов
арифметической прогрессии: 1; 3,5; … .
Дано:
Решение:
ап - арифметическая
прогрессия
а1 1
а2 3,5
S 20 ?
d 3,5 1 2,5
a20 1 2,5(20 1)
1 2,5 19 48,5
1 48,5
S 20
20
2
49,5 10 495
Ответ: 495

21.

Задача.
Укажите наибольшее число членов арифметической прогрессии –
42; – 38; – 34; …, сумма которых меньше 150.
Решение.
3)
1)
y = 0;
= 4
n = 25 или n = – 3
2)
n
–3
25
n – натуральное число, поэтому
n=
(– 42 + 2n – 2)n < 150
(– 22 + n)n < 75
1;
2;
Наибольшее число – 24
Ответ: 24
3; … ; 24.