Распреде-ления Максвелла и Больцмана III

555.34K

Category:

physics

Распределения Максвелла и Больцмана

1. Распреде-ления Максвелла и Больцмана III

РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
МАКСВЕЛЛА
И
БОЛЬЦМАНА
III

2. Проверочная работа

Распределение Максвелла имеет вид
m
2
F (v) 4 v
2
kT
3/ 2
mv 2
exp
.
2kT
Чему была бы равна наиболее
вероятная скорость точечных молекул в
четырехмерном пространстве?
2 4
R
Объем четырехмерного шара V4
.
2
Постоянная Больцмана k.

3.

f 4 ( v) x (vx ) y (v y ) z (vz ) w (vw ), v v v v v
2
x
2
y
2
z
f 4 ( v) 4 (v) (vx ) (v y ) (vz ) (vw ) ln
ln 4 (v) ln (vx ) ln (vy ) ln (vz ) ln (vz )
vx
4 (v) v 4 (v) vx (vx )
4 (v) vx 4 (v) v (vx )
(vx ) 1 4 (v) 1
(v x ) v x 4 (v ) v
(vx )
vx (v) A exp v 2
(v x )
2
w

4.

A exp v dx A 1 A
2
exp x dx
2
mv 2
Am 1 kT
2
2 A exp v dx 2 2 2
Am 1
1 kT
1
2 2 A 4
2
2kT
1
A
2 kT

5.

2
mv
mv
m
y
f 4 ( v ) 4 (v )
exp
exp
2 kT
2kT
2kT
2
2
2
mvw m
mvz
mv 2
exp
exp
exp
2kT
2kT
2kT 2 kT
4/ 2
2
x
v
2 3
dv dvx dvy dvz dvw ; dv d
v dv
2
v
v
2 4
2
2
v1
v1
T v : v1 v v2 , f 4 ( v)dv 4 (v) 2v3dv F4 (v)dv
T
2
mv 2 3
m
F4 (v)
v
exp
2 kT
2kT
2

6.

mv 3
m
F (v )
v
exp
2kT
2kT
2
2
2kT
v0
m
v2 3
v3dv
2
F (v)dv 3 exp 2 u exp u du
v0
v0
u v / v0
2
4
2
d
mv
mv
mv
3
2
exp
v 3v
exp
0
dv
kT
2kT
2kT
4
в
mv
3kT
3v
0 vв
kT
m
2
в

7. Быстрое решение

Экспонента определяется распределе-нием
вдоль одной оси, а значит, не зависит от числа
осей и останется в том же виде
mv 2
3
exp
. dv v dv , значит
2kT
mv 2 3
F4 (v) exp
v
2kT
Дифференцируем, приравниваем к нулю.
Получаем правильный ответ.

8. Другие представления

dv
F ( )d F (v)dv F ( )d F (v)
d
m
F ( ) 4 v 2
2 kT
3/ 2
v
mv 2 1
exp
2
kT
2 m
2
m
v
2
m
2
exp
3/ 2
kT
kT
dv
4 p 2
p2
Fp ( p) F (v)
exp
3/ 2
dp v p 2 mkT
2
mkT
m

9.

10.

2
F ( )
exp
3/ 2
kT
kT
exp kT exp kT kT exp kT 0 в kT
2kT mvв2 m 2kT
vв
kT
m
2
2 m

11. Распределение Больцмана

p
S p
p dN F nSdz F
nF
z
z dz
z
z
z
z
p nF n U
kT n n U
p nkT
n
U
U
ln n
n
kT
kT
U
p p0 exp
kT
.
U
n n0 exp
kT
.
mgh
U mgh p p h 0 exp
kT

12.

13.

ma m 2r Fц , Fц U ,
m 2 r 2
U
2
2
m( r )
U
p p0 exp p0 exp
kT
kT

14.

15.

N E N 0 exp E / kT ,
N1 N 0 exp E1 / kT ,
N 2 N 0 exp E2 / kT ,
N1 N 2 N 0 exp E1 / kT N 0 exp E2 / kT N ,
N
N0
,
exp E1 / kT exp E2 / kT
N1
N exp E1 / kT
exp E1 / kT exp E2 / kT
N2
N exp E2 / kT
,
exp E1 / kT exp E2 / kT

16.

17.

U mgh U
mgh exp h dh
0
mg
kT
exp h dh
0
1
h exp h 0 exp h dh
mg
0
mg
kT
exp h dh
0

18. Энтропия

1 Q c dT
Q cv dT pdV
, T
v
T
T
pdV
T
RT Q
dT
dV
1. p
,
cv
R
cv d ln T Rd ln V
V
T
T
V
Q
dS
d cv ln T R ln V ,
T
T
V
S cv ln R ln . S (T ,V ) S0 cv ln T R ln V .
T0
V0