Комплексные числа

1. Комплексные числа

Тригонометрическая форма записи
комплексных чисел
Действия над комплексными числами
Показательная форма комплексного
числа

2. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел

Обозначим через r модуль вектора OA , через φ угол между
вектором OA и положительным направлением оси OX.
Тогда имеют место равенства:
y
z
a r cos ; b r sin
A(a; b)
b
r
0
Следовательно, комплексное число z
можно представить в виде:
φ
a х
a i b r cos i r sin
z r (cos i sin )
b
Аргумент комплексного
arg z arctg
числа
a
Аргумент комплексного числа z считается положительным, если
r z a2 b2
он отсчитывается от положительного направления оси OX против
часовой стрелки. Очевидно, что φ определяется не однозначно, а
с точностью до слагаемого 2 k k Z.

3. Действия над комплексными числами

Если комплексные числа заданы в тригонометрической форме:
z1 r1(cos 1 i sin 1) z2 r2 (cos 2 i sin 2 )
тогда произведение находится по формуле:
z1 z2 r1 r2 (cos( 1 2 ) i sin( 1 2 ))
Произведение сопряженных комплексных чисел:
z z (a i b ) (a i b ) a2 (i b)2 a2 b 2
z z a b z
2
2
2

4. Действия над комплексными числами

Если комплексные числа заданы в тригонометрической форме:
z1 r1(cos 1 i sin 1)
z2 r2 (cos 2 i sin 2 )
z1 r1
(cos( 1 2 ) i sin( 1 2 ))
z2 r2

5. Действия над комплексными числами

Возведение в степень комплексного числа.
При возведении комплексного числа z r (cos i sin )
в целую положительную степень модуль возводится в эту степень,
а аргумент умножается на показатель степени (формула Муавра)
z n r n (cos n i sin n )
Извлечение корня из комплексного числа.
Корень n – ой степени из комплексного числа
z r (cos i sin ) находится по формуле:
n
z r (cos
n
2k
n
i sin
2k
n
)
Арифметическое значение корня из
положительного числа r

6. Действия над комплексными числами

n
z r (cos
n
2k
n
i sin
2k
n
)
Придавая k значения 0, 1, 2, …,n –1, получим n различных
значений корня.
Для других значений k аргументы будут отличаться от
полученных на число, кратное 2π, и , следовательно будут
получаться значения корня, совпадающие с рассмотренными.
Итак, корень n – ой степени из комплексного числа имеет n
различных значений.
Корень n – ой степени из действительного числа также имеет n
значений, так как действительное число – частный случай
комплексного числа и может быть представлено в
тригонометрической форме:
A A (cos 0 i sin0) ( A 0)
A A (cos i sin ) ( A 0)

7. Действия над комплексными числами

Найти все значения кубического корня из единицы
1 cos 0 i sin0
3
(r 1; 0)
0 2k
0 2k
2k
2k
1 cos
i sin
cos
i sin
3
3
3
3
k 0
k 1
k 2
1 cos 0 i sin 0 1
3
3
2
2
1
3
1 cos
i sin
i
3
3
2
2
3
4
4
1
3
1 cos
i sin
i
3
3
2
2
y
z
В
A
х
С

8. Показательная форма комплексного числа

Пусть z x i y . Если х и y – действительные переменные, то
z называется комплексной переменной.
Рассмотрим показательную функцию от комплексной
переменной z.
w ez
или
w e x i y
Комплексные значения функции w определяются по формуле:
e x i y e x (cos y i sin y )
z 2 i
Пример:
e
2 i
4
(1)
4
e2 2
e2 2
e (cos i sin )
i
4
4
2
2
2

9. Показательная форма комплексного числа

Если в формуле (1) положим x = 0, то получим:
ei y cos y i sin y
(2)
Эта формула называется формулой Эйлера, выражающая
показательную функцию с мнимым показателем через
тригонометрические функции.
Заменим в формуле (2) y на – y:
e i y cos( y ) i sin( y ) e i y cos y i sin y (3)
Складывая и вычитая равенства (2) и (3) получим :
e e
cos y
2
iy
iy
e iy e iy
sin y
2i

10. Показательная форма комплексного числа

Представим комплексное число z в тригонометрической форме::
z r (cos i sin )
По формуле Эйлера: cos i sin e i
Следовательно, всякое комплексное число можно представить в
показательной форме:
z r e i
Действия над комплексными числами в показательной форме:
Пусть имеем:
i 2
z
r
e
. Тогда:
z1 r1 e ; 2
2
i 1
z1 z2 r1 r2 e i 1 2 ;
z1 r1 i 1 2
e
;
z2 r2
zn r n ei n ;
n
z n r e
i
2 k
n
.

11.

.
.
Решите уравнения:
z 2 i 0.
z 4 64 0
z3 1 0