Основы нанофизики

1.

ОСНОВЫ НАНОФИЗИКИ. 1D модели
1. ОУШ. Свободное движение.
2. Сохранение вероятности в квантовой механике. Плотность потока вероятности.
3. Потенциальная яма. Гармонический осциллятор. Потенциальные ступеньки.
Надбарьерное отражение. Туннельный эффект.
Примеры туннельных явлений: альфа – распад, холодная эмиссия, автоионизация
атомов, туннельный микроскоп, эффект Джозефсона, парадокс Клейна, …
ОДНОМЕРНОЕ УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА
d 2
E x
U x x
2
2m d x
2
Математика - МОЗР(1967) – солитоны.
Теоремы о квантовании энергии
1. Если движение инфинитно, то спектр энергии –
непрерывен. Т.е. значения энергии частицы образуют
на числовой оси интервал.
2. Если движение финитно, то спектр энергии дискретен.

2.

Закон сохранения вероятности в квантовой механике
Плотность вероятностей – измеримая величина.
Если частиц очень много, то
(r , t )
- концентрация частиц
Закон сохранения вероятности в дифференциальной форме:
Закон сохранения вероятности в интегральной форме:
Сколько частиц вошло в
замкнутый объем, столько и
вышло (в ед. времени)
Одномерный вариант потока вероятности

3.

1D модели
Одномерный вариант потока вероятностей
а1)
Формула связи потока частиц
с их концентрацией
а2)
n A
2

4.

Свободная частица
Таким образом, кинетическая энергия поступательного движения свободной частицы
p2
всегда отлична от нуля : E
0, где р k импульс частицы.
2m
Отсюда следует III - закон термодинамики : ноль абсолютной температуры не достижим.
Другая особенность квантового движения состоит в том, что свободная частица может
находиться одновременно в состояниях с противоположными направлениями перемещения.
В частности , имеется вырождение энергии по знаку импульса ( р ).
Физический смысл А и В.
jx
p
A
m
2
B
2

5.

Потенциальная яма
Выводы
1) Если движение частицы происходит в области ограниченной размером l , то :
квантуется импульс частицы p
квантуется энергия En
2
2
2ml
2
l
n , n ;
n2 ;
существует минимальное значение энергии E1
2
2
1
.
2m l 2
2) Осцилляционная теорема . Число нулей волновой функции равно (n 1).

6.

Потенциальная ступенька
1. Надбарьерное отражение. E > U0
1 Aeikx Be ikx , k 2
2 A1e
ik1 x
, k
2
1
2mE
2
;
2m E U 0
2
.
2. Внутреннее отражение. E < U0
1 Aeikx Be ikx , k 2
2 C e
q x
, q
2
2mE
2
;
2m U 0 E
2
2
k k1
4k k1
R
, R T 1.
, T
2
k k1
k k1
A B C,
k iq
2k
A, C
A.
B
ik A B qC
k iq
k iq
R 1, T 0.
.
Но! Явление прохождения пси – волны за потенциальный барьер
4k 2
2
C 2 2 A 0.
k q
2

7.

ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ БАРЬЕР. E < Uo . ТУННЕЛИРОВАНИЕ.
Вероятность прохождения через барьер,
когда энергия частицы
Барьер сложной формы
меньше высоты барьера
a, b точки поворота :
корни уравнения U ( x ) E.

8.

ТУННЕЛЬНЫЙ ЭФФЕКТ (примеры)
Альфа распад ядер
Эмиссия электронов из металла, автоэлектронная
ионизация атомов, …

9.

Гармонический осциллятор
Классическая физика
m x kx, x A cos t 0 ,
k
.
m
Квантовая физика
E
d 2
2
2m dx 2
1
m 2 x 2 СГУ
2
Нулевые колебания
x
Квадратичная флуктуация амплитуды x0
0 ( x) dx
2
2
2m
(см. приложение).
В квантовых кристаллах x0 a межатомное расстояние. Теорию разработали И .М . Лифшиц, АФ
. . Андреев (1969 1972);
Квадратичная флуктуация импульса p0
2
* ( x)
d 2 ( x)
dx
Реализуются минимальные неопределенности x0 p0
2
2
dx
m
.
2
. Такие состояния называют когерентными.

10.

В 1929 году физик Оскар Клейн получил удивительный результат,
применив уравнение Дирака к задаче рассеяния электронов на
потенциальном барьере. В сильных полях исчезает обратное рассеяние.
Общепринятое объяснение парадокса использует квантовую теорию поля.
Так, уравнение Дирака описывает не движение отдельной частицы, а
эволюцию во времени квантового поля, в котором могут присутствовать и
античастицы. Поэтому при наличии сильных полей будет
происходить рождение пар и вновь родившиеся частицы могут двигаться за
барьером, а античастицы компенсируют падающий поток.
Этот парадокс имеет общефизический характер и наблюдается в ядерной
физике, физике твердого тела (электронно-дырочные возбуждения в графене),
космологии.
Парадо́кс Кле́йна в графе́не — прохождение любых потенциальных
барьеров без обратного рассеяния. Эффект предсказан теоретически
в 2006 году для прямоугольного барьера.