Парабола

1.

ПАРАБОЛОЙ называется множество
точек плоскости, каждая из которых
находится на одинаковом расстоянии от
данной точки, называемой фокусом
параболы и данной прямой,
называемой директрисой.

2.

y
M ( x, y)
N
p
2
d
F
x

3.

Введем обозначения:
p
F ;0
2
Расстояние между фокусом
параболы равно р.
и
директрисой
Для любой точки М(х,у), принадлежащей
параболе, по определению выполняется
равенство:
FM NM

4.

Для того, чтобы точка М(х,у)
принадлежала параболе, необходимо и
достаточно, чтобы ее координаты
удовлетворяли уравнению
y 2 px
2
3

5.

Покажем, что координаты точки, принадлежащей
параболе, удовлетворяют уравнению (3).
Т.к. точка М(х,у) принадлежит параболе, то по
определению параболы, должно выполнятся
условие
FM NM
Выразим каждое расстояние по
расстояния между двумя точками:
p
F ;0
2
M ( x; y)
формуле
2
p
2
FM x y
2

6.

p
NM x
2
x
Тогда:
2
p
p
2
y x
2
2
Возводим в квадрат обе части выражения:
2
p
p
2
2
x y x xp
4
2
2
2
2
p
p
2
2
x xp y x xp
4
4
2

7.

y 2 px
2

8.

Уравнение директрисы параболы имеет вид:
p
x
2
Расстояние
FM
называется фокальным радиусом точки М, р
называется параметром параболы.
В зависимости от значения этих параметров,
возможны различные способы ориентации
параболы на плоскости.

9.

p
F ;0
2
y 2 px
2
p
x
2

10.

p
F 0;
2
x 2 py
2
p
y
2

11.

p
F 0;
2
x 2 py
2
p
y
2