Показатели вариации

1. Показатели вариации

Показатели вариации
Абсолютные
Размах
вариации
среднее
линейное
отклонение
Средний
квадрат
отклонений
Относительные
среднее
квадратическое
отклонение
Коэффициент
осциляции
Отностельное
линейное
отклонение
Коэффициент
вариации

2. Показатели вариации (абсолютные)

1. Размах вариации
R = Xmax − Xmin
2. Среднее линейное отклонение
n
n
d
xi - x
i 1
d
, или
x
i 1
n
i
- x fi
n
f
i 1
i
3. Дисперсия или средний квадрат отклонений
n
2
x i x
2
n
, или
i 1
n
4. Среднее квадратическое отклонение:
2
2
x
i 1
x fi
2
i
n
fi
i 1

3. Показатели вариации (относительные)

1.
Коэффициент осцилляции:
R
Ко 100%
x
2.
Относительное линейное отклонение:
d
К d 100%
x
3.
Коэффициент вариации:
V 100%
x

4.

Число предприятий
Группы предприятий по
объему товарооборота,
млн. руб.
Расчетные показатели
x i x i f i
x i x
x i x f i
x i -x x i -x f i x i x i f i
2
2
2
2
90-100
28
95
2660
10
280
100
2800
9025
252700
100-110
48
105
5040
0
0
0
0
11025
529200
110-120
20
115
2300
10
200
100
2000
13225
264500
120 -130
4
125
500
20
80
400
1600
15625
62500
ИТОГО
100
-
10500
-
560
-
6400
-
1108900

5. Решение примера 1

Средний объем товарооборота на одно предприятие
равен:
n
x
x f
i
i 1
n
f
i 1
i
10500
млн.
105
100
руб.
i
R = 130 – 90 = 40 млн.руб.
n
d
x
i 1
i
- x fi
n
f
i 1
n
2
x x
i 1
Ко
n
fi
i 1
560
млн.
5,6
100
руб.
i
2
i
fi
6400
64
100
40
100% 38,1%
105
2
К d 5,6 100% 5,3%
105
64
8 млн. руб.
V
8
100% 7,6%
105

6. Виды дисперсий

2
общая
х
2
xi
i
2
fi
Общая дисперсия измеряет вариацию признака во всей совокупности
под влиянием всех факторов, обусловливающих эту вариацию
i
ni
2
i
x ni
n
и
межгрупповая дисперсия – это мера колеблемости частных средних по группами
вокруг общей средней;
x
2
x
X
f
м2
дисперсия признака по всей изучаемой совокупности;
i
Межгрупповая дисперсия характеризует систематическую вариацию, т.е.
различия в величине изучаемого признака, возникающие под влиянием
признака-фактора, положенного в основание группировки.
- соответственно средние и численности по отдельным группам.
Внутригрупповая дисперсия отражает случайную вариацию, т.е. часть вариации,
происходящую под влиянием неучтенных факторов и не зависящую от признака-фактора,
положенного в основание группировки.
x x n
n
2
2
i
i
i
i
и средняя из внутригрупповых дисперсий
i2
2
i ni
n
i

7. Свойства дисперсии

1.Общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых и межгрупповой
дисперсии.
2
общая
2 м2
2. Если из всех значений вариант отнять какое-то постоянное число А, то средний квадрат
отклонений от этого не изменится.
2X
A
i
2
3. Если все значения вариант разделить на какое-то постоянное число А, то средний
квадрат отклонений уменьшится от этого в А раз, а среднее квадратическое отклонение в А
раз:
2
X 2
i
A
A
4. Дисперсия равна разности средней из квадратов значений признака и квадрата средней
арифметической (способ моментов).
2 x 2 x 2
n
2
x i fi
i 1
n
fi
i 1
n
i 1x i f i
n
fi
i 1
2

8. Продолжение решения примера 1

2
x x
2
2
952 28 1052 48 1152 20 1252 4
1052 11089 11025 64
28 48 20 4

9. Пример 2: Определить групповые дисперсии, среднюю из групповых дисперсий, межгрупповую дисперсию, общую дисперсию по следующим данным:

1-я бригада
№
п/п
1
2
3
4
5
6
Изготовлено
деталей
за час,
шт. хi
13
14
15
17
16
15
90
хi x i
-2
-1
0
2
1
0
2-я бригада
х x
i
№
п/п
Изготовлено
деталей за
час, шт. хi
хi x i
7
8
9
10
11
12
18
19
22
20
24
23
-3
-2
1
-1
3
2
i
4
1
0
4
1
0
10
126
х x
i
i
9
4
1
1
9
4
24

10. Решение:

Для расчета групповых дисперсий вычислим средние по каждой группе:
Х1
90
15 шт.;
6
Х2
126
21 шт.
6
Промежуточные расчеты дисперсий по группам представлены в таблице. Подставив
полученные значения в формулу, получим:
2
1
х
i
x
n
2
22
10
1,666 1,67;
6
Средняя из групповых дисперсий
2
х
f
f
2
i i
i
i
x
n
2
28
4,67.
6
1,67 6 4,67 6 10 28 38
3,17.
12
12
12
Затем рассчитаем межгрупповую дисперсию. Для этого предварительно определим общую
среднюю как среднюю взвешенную из групповых средних:
Х
Х f
f
i
i
i
15 6 21 6 90 126
18 шт.
12
12
Теперь определим межгрупповую дисперсию:
х x f
2
2
i
f
i
i
2
2
15 18 6 21 18 6 9 6 9 6 108
9.
12
12
12
Таким образом, общая дисперсия по правилу сложения дисперсий
2 i2 2 3,17 9 12,17.