Первообразная

1.

Первообразная

2.

Первообразная
Функция F(x)называется первообразной для
функции f(x)на некотором промежутке,
если для всех x из этого промежутка
F ( x) f ( x)
Операцию, обратную дифференцированию
называют интегрированием.

3.

Например :
1) х 2 х
значит для f ( x) 2 x,
2
есть первообразная F ( х) х
2
2) sin x cos x
значит F ( x) sin x первообразная
для f ( x) cos x
3) Доказать, что F ( x) 2 x 4 x первообразная
2
для f ( x) 6 x 4
3
2
F ( x) 2 x 4 x 6 x 4 f ( x)
3

4.

Основное свойство первообразных
Если F(x)– первообразная для функции f(x)
на некотором промежутке, то функция
F(x)+C также является первообразной
функции f(x) на этом промежутке, где C –
произвольная постоянная.
Например :
х 2х
2
х 3 2х
2
х 2 2х
2
х 0,5 2 х
2
значит для f ( x) 2 x
первообразная F ( x) x 2 C

5.

Таблица первообразных
f(x)
F(x)
1
х
2 х С
n
x n 1
C
n 1
x
к пост
кх С
1
х С
sin x
cos x C
cos x
sin x C
f(x)
1
сos 2 x
1
2
sin x
0
e
F(x)
tgx C
ctgx C
С
x
e C
x
ax
С
ln a
a
1
х
x
ln x С

6.

Например :
4
x
1) f ( x) x3 , F ( x) C
47
6
2) f ( x) x , F ( x) x C
7
3) f ( x) 5, F ( x) 5 x C
4) f ( x) cos x, F ( x) sin x C
5)Найти первообразную график которой
1
проходит через точку А(2;1) для f ( x) 3
x
3
1
f ( x) x
x 2
1
F ( x)
C 2 C
2
2x
1
2 2
2
C
1
C 1 , значит
8
1
1
F ( x) 2 1
2x
8

7.

Три правила нахождения
первообразных
Если F(x) есть первообразная для f(x), а G(x) –
первообразная для g(x), то F(x) + G(x) есть
первообразная для f(x) + g(x).
x2
1) f ( x) 2 x, F ( x) 2 x C
2
2) f ( x) sin x 3,
F ( x) cos x 3x C

8.

Если F(x) есть первообразная для f(x), а k –
постоянная, то функция kF(x) есть
первообразная
для kf(х).
Постоянную выносят за знак первообразной
Например :
2
x
1) f ( x) 5 x, F ( x) 5 C
2
2) f ( x) 3cos x, F ( x) 3sin x C
4
2
x
x
3) f ( x) 12 x3 8 x, F ( x) 12 8 C
4
2
3x 4 x C
4
2

9.

Если F(x) есть первообразная для f(x), а k и b –
1
постоянные, причем k ≠ 0, то функция k F(kx + b)
есть первообразная для f(kx + b).
Например :
1
1) f ( x) sin 2 x, F ( x) ( cos 2 x) C
2
x
x
2) f ( x) cos , F ( x) 3sin C
3
3
8
8
7
4 5x
4 5x
1
3) f ( x) 4 5 x , F ( x)
C
C
1
4) f ( x)
,
2
sin (3x 1)
5
8
40
1
F ( x) ctg (3x 1) C
3