Первообразная

1. Первообразная

2.

Цель урока:
Повторить понятие производной функции, ее
физический смысл, основные формулы
дифференцирования; ввести понятие первообразной
функции, научиться определять является ли функция
F(x) первообразной для функции f(x).
Развитие умения сравнивать, обобщать,
классифицировать, анализировать, делать выводы.

3.

Определение производной функции?
Производной функции в данной точке называется
предел отношения приращения функции в этой точке к
приращению аргумента, когда приращение аргумента ,
стремиться к нулю.

4.

Устная работа
1
сosх
-sinх+12

5.

Устная работа

6.

Используя определение производной функции,
решают ряд задач в алгебре, физике, химии.
Рассмотрим физический смысл производной.
материальная
точка
s(t) закон
движения

7.

Задача:
Точка движется прямолинейно по закону
s(t) = t3+ 2t ( где s(t) – измеряется в м).
Найдите скорость точки в момент времени t=2с.
Решение:
v(t) = 3t2 + 2
v(2) =
Ответ: 14 м/с.

8.

Задача: По прямой движется материальная точка,
скорость которой в момент времени t задается
формулой v(t) = 3t2. Найдите закон движения.
Решение: Пусть s(t) – закон движения
надо найти функцию,
производная которой
равна 3t2 .
Эта задача решена верно, но не полно.
Эта задача имеет бесконечное множество решений.
3t2
3t2
3t2
3t2
можно сделать вывод, что
любая функция вида
s(t)=t3+C является
решением данной задачи,
где C любое число.

9.

При решении задачи, мы, зная производную
функции, восстановили ее первичный образ.
Эта операция восстановления - операция
интегрирования.
Востановленная функция – первообразная
( первичный образ функции)
Операция
дифференцирования
функция y = F(х)
(первообразная)
y = f(х)
производная
Операция
интегрирования

10.

Определение первообразной
y = F(x) называют
первообразной для y = f(x) на
промежутке X, если при x ∈ X
F'(x) = f(x)

11.

Операция
дифференцирования
функция y = F(х)
(первообразная)
y = f(х)
производная
Операция
интегрирования
В математике много операций которые
являются обратными
32 = 9
?
?
Сегодня мы познакомились с новой операцией
интегрирование
? дифференцирование

12.

5
Показать, что функция
x
F ( x) 1
5
является первообразной для функции
4
f ( x) x
Решение:
5
4
x
5x
4
F ( x) 1
x f ( x)
5
5

13.

Показать, что функция
F ( x) 1 sin 2 x
является первообразной для функции
f ( x) 2 cos 2 x
Решение:
F ( x) 1 sin 2 x 2 cos 2 x f ( x)

14.

Запомните: Первообразная – это родитель
производной:

15.

f(x)
1
F(x)
Задача:
Найдите все первообразные
для функций:
f(х)=3
f(х)= х2
f(х)=cosx
f(х)=12
f(х)=х5

16.

Три правила нахождения
первообразных
1º Если F(x) есть первообразная для f(x), а G(x) –
первообразная для g(x), то F(x) + G(x) есть
первообразная для f(x) + g(x).
2º Если F(x) есть первообразная для f(x), а k –
постоянная, то функция kF(x) есть первообразная
для kf(х).
3º Если F(x) есть первообразная для f(x), а k и b –
постоянные, причем k ≠ 0, то функция
есть первообразная для f(kx + b).
1
F(kx + b)
k

17.

Три правила нахождения первообразных
Если функции у=f(x) и у=g(x) имеют на
промежутке
первообразные соответственно у=F(x) и у=G(x), то
Функция
Первообразная
у = f(x) + g(x)
у = F(x) + G(x)
у =k f(x)
у =k F(x)

18.

Найти первообразные для функции
f ( x) 5 x e
3
2 x 7
4 cos x
Решение:
4
x 1 2 x 7
F ( x) 5 e
4 sin x C
4 2

19. Первообразная

С какой
новой операцией
вы познакомились?
Интегрирование
– это
операция,
которая
Как называется
процесс
нахождения
Подведем
итоги
урока.
Что значит
найти
первообразную
является
обратной
для
операции….
первообразной функции?
дляпервообразной
функции?
Нахождение
функции.
дифференцирования.
Интегрирование.
Найти первичный образ функции, т.е. вид
функции до того как нашли её производную.

20.

Самостоятельно
Для функции y=f(x) найдите хотя бы одну первообразную: