Методы решения тригонометрических уравнений

1. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

2. I. СВЕДЕНИЕ К АЛГЕБРАИЧЕСКОМУ.

3.

Пример:
3 cos 2 x 3sin x 0
3 (1 sin 2 x) 3sin x 0
3 1 sin 2 x 3sin x 0
Пусть sin x a,| a | 1 .
Уравнение примет вид:
a 2 3a 2 0
D 9 8 1
a1
3 1
2 - не удовлетворяет условию | a | 1
2
a2
3 1
1
2
sin x 1
x
Ответ: 2 n, n .
2
2
2 n, n

4. II. ОДНОРОДНЫЕ И СВОДИМЫЕ К НИМ.

5.

Уравнение вида
a sin x b cos x 0
называется однородным
уравнением I степени.

6.

Пример:
sin x cos x 0
Множество значений x, удовлетворяющих уравнению
cos x 0 , не является решением данного уравнения.
Поэтому можно обе части уравнения разделить на cos x 0
.
Получим:
tgx 1 0
tgx 1
x
Ответ:
4
n, n
.
4
n, n

7.

Уравнение вида
a sin x b sin x cos x c cos x 0
2
2
называется однородным
уравнением II степени.

8.

Пример:
2sin 2 x 3sin x cos x cos2 x 0
Решение:
Множество значений x, удовлетворяющих
уравнению cos x ,0не является решением
данного уравнения.
Разделим обе части уравнения на cos2 x 0 .
2
Получим: 2tg x 3tgx 1 0

9.

Пусть a tgx .
Уравнение примет вид:
2a 3a 1 0
2
D 9 8 1
3 1
1
a1
4
2
1
tgx
2
1
x arctg n, n
2
3 1
a2
1
4
tgx 1
x
1
Ответ: arctg n, n ; k , k .
2
4
4
k, k

10. V. Разложение на множители.

V. РАЗЛОЖЕНИЕ НА
МНОЖИТЕЛИ.

11. Пример.

ПРИМЕР.
4cos x sin x 2cos x 2sin x 1 0
2cos x(2sin x 1) (2sin x 1) 0
(2sin x 1)(2cos x 1) 0
1
sin
x
2
cos x 1
2