Криволинейная трапеция

1.

Алгебра и начала анализа. 11 класс
МОУ “Школа №78 г.Донецка”
Учитель ПЕРЕКРЕСТ И.А.

2.

3.

Криволинейная трапеция
Опр. Криволинейной трапецией называется фигура,
ограниченная графиком непрерывной и не меняющей
на отрезке [а;b] знак функции f(х), прямыми х=а, x=b
и отрезком [а;b].
У
0
a
x=b
х=а
y = f(x)
b
Х
Отрезок [a;b] -основание
этой криволинейной трапеции

4.

Различные виды криволинейных трапеций
х
у
1
У=х²+2х
-2
0
2
у 2
-1
0 1
-1
0
х
-1
0
2

5.

Различные виды криволинейных трапеций

6.

Являются ли криволинейными трапециями фигуры?
да
у
нет
у
у
y = f(x)
y = f(x) 3
y = f(x)
У=1
0
х
0
0
у
у
да
y = f(x)
х
х
y = f(x)
у
y = f(x)
У=3
0
нет
0
х
0
х
х
да
нет

7.

Самостоятельно решить:
ЗАДАНИЕ 1. Указать фигуры, которые являются
криволинейными трапециями
Лист 1

8.

ЗАДАНИЕ 2. Указать фигуры,которые не являются
криволинейными трапециями
Лист 2

9.

Не криволинейная трапеция
Можно разбить на 3 криволинейных трапеции
КАК НАЙТИ ПЛОЩАДЬ КРИВОЛИНЕЙНОЙ ТРАПЕЦИИ?
S F (b) F (a)
F(x) – любая первообразная функции f(x).
y f (x)
y
S
x
0
a
b

10.

Пример использования формулы
S F (b) F (a)
для нахождения площади криволинейной трапеции
-Вычислить площадь фигуры,
ограниченной линиями
у = x3+1, у=0, x=0.
Решение.
Изобразим схематично фигуру,
площадь которой надо найти (рис.)
Найдём одну из первообразных (С=0).
F(x) = x4/4 + x.
S = F(0) - F(-1) = (0+0) - (1/4 - (-1))=
= -1/4 + 1 =
¾
(ед.кв.)

11.

12.

ПЛОЩАДЬ КРИВОЛИНЕЙНОЙ ТРАПЕЦИИ
И ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

13.

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ –
ПЛОЩАДЬ КРИВОЛИНЕЙНОЙ ТРАПЕЦИИ

14.

Формула Ньютона-Лейбница
И.Ньютон
1643—1727
Г.Лейбниц
1646—1716

15.

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

16.

Применение свойств определенного интеграла в
вычислениях (образцы)
а)
б)
в)
г)
д)

17.

Вычислить интегралы:
Вариант 1
1)
4)
2)
5)
3)
6)
Вариант 2
1)
4)
2)
5)
3)
6)

18.

19.

С помощью определённого интеграла найти площадь
криволинейных трапеций, изображенных на рисунках
(образцы)
Пример 1.
Фигура ограничена линиями
у = х2 – 3х + 3, х = 1, х = 3 (рис.)
Решение.
S=

20.

Пример 2.
Фигура ограничена линиями
у = 1 – х2, х = -½, х = 1 , у = 0
(рис.)
Решение.
S=
(ед.кв.)
Пример 3.
Фигура ограничена линиями
у = sin x, x = π/2, осью Ох (рис.)
Решение.
S=
(ед.кв.)
0

21.

ТРЕНИНГ «От простого к сложному».
По готовым рисункам найти площади фигур.
(Вариант 1 – задания с нечётными номерами, Вариант 2 – с чётными)
1)
4)
2)
5)
3)
6)
Лист 1

22.

7)
10)
8)
9)
11)
12)
Лист 2

23.

13)
15)
14)
16)
Лист 3

24.

17)
20)
18)
21)
19)
22)
Лист 4

25.

23)
26)
24)
27)
25)
28)
Лист 5

26.

По готовым рисункам найти площади фигур , составив
комбинации площадей криволинейных трапеций
29)
30)
32)
33)
31)
34)
Лист 6

27.

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ
1. Подготовить информацию
- об истории возникновения определённого
интеграла ;
- о сферах его применения;
2. Вычислительные упражнения из учебника