Применение производной к исследованию функций

1.

2.

По графику функции можно определить монотонность
функции и характер её экстремумов, что определяет знак
производной.

3.

На рисунке изображен график функции у = f(x), определенной на
интервале (-9; 8). Определите количество целых точек, в которых
производная функции положительна.
Решение: 1. f/(x) > 0, значит, функция возрастает. Найдем эти участки графика.
2. Найдем все целые точки на этих отрезках.
y
5
4
3
2
1
-9 -8 -7 -6 -5 - 4 -3 -2 -1
-1
-2
-3
-4
y = f (x)
x
1 2 3 4 5 6 7 8
Ответ: 8

4.

На рисунке изображен график функции у = f(x), определенной на
интервале (-5; 5). Определите количество целых точек, в которых
производная функции отрицательна.
Решение: 1. f/(x) < 0, значит, функция убывает. Найдем эти участки графика.
2. Найдем все целые точки на этих отрезках.
y
5
4
3
2
1
-9 -8 -7 -6 -5 - 4 -3 -2 -1
-1
-2
-3
-4
y = f (x)
x
1 2 3 4 5 6 7 8
Ответ: 5

5.

Непрерывная функция у = f(x) задана на отрезке [a;b]
На рисунке изображен ее график. В ответе укажите количество точек
графика этой функции, в которых касательная параллельна оси Ох.
y
y = f(x)
a
b
x
Ответ: 5

6.

7.

8.

2 3
-1 0
1
6 7 8 9
-1 + 0 + 1+2 + 3 + 6 + 7+ 8 + 9= 35
На рисунке изображен график функции
f(x), определенной на
интервале (-3;10) . Найдите сумму точек экстремума функции f(x) .
Ответ: 35

9.

По графику производной определяется знак
производной, что определяет характер
монотонности и вид экстремумов
f ( x) 0 f ( x)
f ( x) 0 f ( x)
f (x) 0
Точка
минимума
производна я меняет знак с на Функция меняет характер монотоннос ти
с возрастающей на убывающую
Значит это тточк максимума
f ( x) 0 f ( x)
f ( x) 0 f ( x)

10.

y
+
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
–
f/(x)
f(x)
-5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
0
y = f /(x)
+
+
1 2 3 4 5 6 7
–
3
7
x
x

11.

Исследуйте функцию у =f (x) на экстремум и укажите количество ее
точек минимума.
4 точки экстремума
y
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
f/(x)-8 +
-5
f(x)
4
3
2
1
y = f /(x)
-1
-2
-3
-4
-5
1 2 3 4 5 6 7
–
+
0
+ 8
–
3
x
7
x
Ответ:2

12.

Найдите количество точек экстремума функции у =f (x)
на отрезке [– 3; 7]
y
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
f/(x) -8 +
-5
f(x)
4
3
2
1
y = f /(x)
-1
-2
-3
-4
-5
1 2 3 4 5 6 7
–
+
0
+ 8
–
3
x
7
x
Ответ: 3

13.

На рисунке изображен график y=f'(x) — производной функции f(x)
определенной на интервале (-8:5). В какой точке отрезка
принимает наибольшее значение?
,
[-3;2]
у
х
Ответ:-3

14.

Ответ: -7

15.

На рисунке изображен график y=f'(x)
— производной функции f(x) ,
определенной на интервале (-2;20) . Найдите количество точек максимума
функции f(x) , принадлежащих отрезку [-1;18] .
f ( x) 0
f ( x) 0
f/(x)
f(x)
+
–
+
–
+
_
+
x
Точка максимума – точка перехода от
графика функции к
f ( x) 0
f ( x) 0
Ответ: 3

16.

На рисунке изображен график y=f'(x) — производной функции f(x) ,
определенной на интервале (-6;8) . Найдите промежутки возрастания функции
f(x) . В ответе укажите длину наибольшего из них.
Ответ: 6

17.

На рисунке изображен график y=f'(x) — производной функции
f(x),
определенной на интервале (-8;6). Найдите промежутки убывания
функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
Ответ: 3

18.

На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале
(−5; 5). Найдите количество точек, в которых касательная к графику
функции параллельна прямой y = 6 или совпадает с ней.
Решение.
Из уравнения касательной
делаем вывод, что ее
угловой коэффициент равен
0, значит мы ищем точки, в
которых производная равна
нулю. Это точки гладкого
экстремума и перегиба,
другими словами это точки,
в которых касательная к
графику функции
расположена
горизонтально. На графике
таких точек 4.
Ответ: 4

19.

На рисунке изображен график функции y = f(x),
определенной на интервале
(−3; 9). Найдите количество точек, в которых касательная к
графику функции параллельна прямой y = 12 или совпадает
с ней.
Ответ: 5

20.

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной
на интервале (−10; 2). Найдите количество точек, в которых касательная к
графику функции f(x) параллельна прямой y = −2x − 11 или совпадает с
ней.
Решение
Из уравнения касательной
делаем вывод, что ее
угловой коэффициент
равен -2, значит и
производная равна -2.
Так как перед нами график
производной, то находим 2 на оси Оу и проводим
через нее горизонтальную
прямую. Число точек
соответствует количеству
точек пересечения этой
прямой с графиком
производной
Ответ: 5

21.

Решение
Значение производной равно
угловому коэффициенту
касательной. А его значение
определяется с помощью двух точек
на графике по следующей формуле:
y2 y1
k
x2 x1
6 4
2
k
0.25
3 5 8
Ответ: -0,25

22.

Ответ: 0,25