Применение производной к исследованию функций

1.

Применение производной к исследованию функций
ЕГЭ – 2017
Математика
Задача B7

2. Умения по КТ

УМЕНИЯ ПО КТ
Определять значение функции по значению аргумента при
различных способах задания функции; описывать по графику
поведение и свойства функций, находить по графику функции
наибольшие и наименьшие значения; строить графики
изученных функций
Вычислять производные и первообразные элементарных
функций
Исследовать в простейших случаях функции на монотонность,
находить наибольшие и наименьшие значения функций
Содержание задания В7 по КЭС
Исследование функций
4.2.1
Применение производной к исследованию функций и
построению графиков
4.2.2
Примеры использования производной для нахождения
наилучшего решения в прикладных, в том числе социальноэкономических, задачах

3.

ОБУЧАЮЩАЯ :
•обобщить и закрепить идею геометрического смысла производной
на основе знакомства с математическими «портретами»;
•сформировать начальное представление об истории развития
математического анализа;
•учить работать с теоретическими вопросами учебника;
•«открыть» зависимость между свойствами монотонности
функции, экстремумами и значениями производной.
РАЗВИВАЮЩАЯ :
•способствовать развитию общения как метода научного познания,
аналитико-синтетического мышления, смысловой памяти и
произвольного внимания,
•развитие навыков исследовательской деятельности (планирование,
выдвижение гипотез, анализ, обобщение).
ВОСПИТАТЕЛЬНАЯ :
•развивать у учащихся коммуникативные компетенции,
•способствовать развитию творческой деятельности учащихся,
потребности к самообразованию.

4.

1. В чем состоит геометрический смысл
f
´(x₀)
=
tg
α
=
к
2. В любой ли точке графика можно провести
производной ?
касательную? Какая функция называется
дифференцируемой в точке?
тангенс
угла
наклона
3. Касательная наклонена под
тупым
углом
к
касательной к
4
5
положительному направлению оси ОХ.
положительному
Следовательно, • • • .
направлению оси ОХ
. Касательная наклонена под острым углом к
положительному направлению оси ОХ.
Следовательно, • • • .
значение
производной
в
. Касательная
наклонена
под прямым углом к
точке Х₀
положительному
направлению оси ОХ.
Следовательно, • • • .
угловой коэффициент
касательной
6. Касательная параллельна оси ОХ, либо с ней совпадает.
Следовательно, • • • .
ГРАФИК

5.

для дифференцируемых функций : 0° ≤ α ˂180°, α ≠ 90°
α = 90°
tg α не сущ.
f ´(x₃) не сущ.
α - тупой
tg α < 0
f ´(x₀) < 0
α – острый
tg α >0
f ´(x₁) >0
α=0
tg α =0
f ´(x₂) = 0
вопросы

6.

1
Какими из перечисленных свойств обладают заданные на
промежутке (a , b ) функции,
графики которых будут представлены ниже.
++++-
А. Функция возрастает.
Б. В каждой точке можно
+-
Д. Существует конечное число точек, в
+
+-
Е. Существует конечное число
провести касательную.
В. В каждой точке f ´(x) ≥ 0.
Г. В каждой точке касательная
наклонена под острым углом.
которых f ´(x) = 0 .
точек, в которых f ´(x) не
существует .
ПРОВЕРКА

7.

№1.На рисунке изображен график производной функции у =f (x),
заданной на промежутке (- 8; 8). Исследуем свойства графика и мы
можем ответить на множество вопросов о свойствах функции, хотя
графика самой функции не представлено!
y
Найдем точки, в которых
f /(x)=0 (это нули
4
y = f /(x)
функции).
3
+
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
–
f/(x)
f(x)
-5
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
0
+
+
1 2 3 4 5 6 7
–
3
6
x
x

8.

Что выяснили?
Свойства
f(x):
•возрастания,
•убывания,
•точки минимума,
•точки максимума
существует
связь
Какая?
План действий
1. Анализ наблюдений (фактов).
2. Обобщение фактов.
3. Проверка и выдвижение нового
плана действий.
Свойства
f '(x):
•существование,
•нули,
•знакопостоянство

9.

№1.На рисунке изображен график производной функции у =f (x),
заданной на промежутке (- 8; 8). Исследуем свойства графика и мы
можем ответить на множество вопросов о свойствах функции, хотя
графика самой функции не представлено!
y
Найдем точки, в которых
f /(x)=0 (это нули
4
y = f /(x)
функции).
3
+
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
–
f/(x)
f(x)
-5
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
0
+
+
1 2 3 4 5 6 7
–
3
6
x
x

10.

I.
1
свойства
f(x):
свойства
f '(x):
функция возрастает на промежутке
и имеет на нем производную
f ´(x) ≥ 0
Утверждение верно ??? Почему ???
II
.
свойства
f '(x):
f ´(x) ≥ 0
свойства
f(x):
функция возрастает на промежутке
и имеет на нем производную

11.

По этой схеме мы можем дать ответы на многие вопросы тестов.
Исследуйте функцию у =f (x) на экстремум и укажите количество ее точек
минимума.
y
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
f/(x) -8 +
-5
f(x)
–
4
3
2
1
y = f /(x)
-1
-2
-3
-4
-5
1 2 3 4 5 6 7
x
4 точки экстремума,
0
+
3
–
+ 8
6
Ответ:
2 точки минимума
x

12.

Пример
Найдите точку экстремума функции у =f (x) на отрезке [– 6; –1]
y
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
4
3
2
1
y = f /(x)
-1
-2
-3
-4
-5
1 2 3 4 5 6 7
–
f/(x) -8 +
-5
f(x)
Ответ: xmax = – 5
+
0
x
3
–
+ 8
6
x

13.

Пример
Найдите промежутки возрастания функции у =f (x).
y
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
f/(x) -8 +
-5
f(x)
В точках –5, 0, 3 и 6
функция непрерывна,
поэтому при записи
промежутков возрастания
эти точки включаем.
4
3
2
1
y = f /(x)
-1
-2
-3
-4
-5
1 2 3 4 5( 6 7
–
Ответ:
(–8; –5], [ 0; 3], [ 6; 8)
+
0
x
3
–
+ 8
6
x

14.

Пример
Найдите промежутки возрастания функции у =f (x). В ответе укажите
сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
y
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
f/(x) -8 +
-5
f(x)
В точках –5, 0, 3 и 6
функция непрерывна,
поэтому при записи
промежутков возрастания
эти точки включаем.
4
3
2
1
y = f /(x)
-1
-2
-3
-4
-5
1 2 3 4 5( 6 7
–
(–8; –5], [ 0; 3], [ 6; 8)
Сложим целые числа:
-7, -6, -5, 0, 1, 2, 3, 6, 7
+
0
x
3
–
Ответ: 1
+ 8
6
x

15.

Пример
Найдите промежутки убывания функции у =f (x). В ответе укажите длину
наибольшего из них.
y
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
f/(x) -8 +
-5
f(x)
4
3
2
1
y = f /(x)
-1
-2
-3
-4
-5
1 2 3 4 5 6 7
–
Ответ: 5.
+
0
x
3
–
+ 8
6
x

16.

Пример
В какой точке отрезка [– 4; –1] функции у =f (x) принимает наибольшее
значение?
y
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
f/(x) -8 +
-5
f(x)
4
3
2
1
y = f /(x)
-1
-2
-3
-4
-5
1 2 3 4 5 6 7
–
Ответ: – 4.
+
0
На отрезке [– 4; –1]
функция у =f (x) убывает,
значит, наибольшее
значение на данном
отрезке функция будет
x принимать в точке – 4.
3
–
+ 8
6
x

17.

Пример
В какой точке отрезка [– 4; –1] функции у =f (x) принимает наименьшее
значение?
y
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
4
3
2
1
y = f /(x)
-1 1 2 3 4 5 6 7
-2
-3
Математический
-4
портрет
-5
f/(x) -8 +
-5
f(x)
–
+
0
3
–
На отрезке [– 4; –1]
функция у =f (x) убывает,
значит, наименьшее
значение на данном
отрезке функция будет
x принимать в конце
отрезка точке х= – 1.
Ответ: – 1.
+ 8
6
x

18.

№2. На рисунке изображен график функции y = f (x), и касательная к
нему в точке с абсциссой х0. Найдите значение
производной функции y = f (x) в точке х0.
Решение.
А С
f x0 k tg ,
BC 3
f x0 tg
3.
AC 1
Ответ: 3.
Теоретические сведения.
Значение производной функции f(x) в точке х0 равно tga — угловому
коэффициенту касательной, проведенной к графику этой функции в данной точке.
Чтобы найти угловой коэффициент, выберем две точки А и В, лежащие на
касательной, абсциссы и ординаты которых — целые числа. Теперь определим модуль
углового коэффициента. Для этого построим ∆ABC. Важно помнить, что тангенс
острого угла прямоугольного треугольника — это отношение противолежащего
катета к прилежащему.
Знак производной (углового коэффициента) можно определить по рисунку,
например, так: если касательная «смотрит вверх» то производная положительна, если
касательная «смотрит вниз» - отрицательна (если касательная горизонтальна, то
производная равна нулю).

19.

№3. На рисунке изображен график функции y = f (x), и касательная к
нему в точке с абсциссой х0. Найдите значение
производной функции y = f (x) в точке х0.
б)
a)
А
А
С
В
С
В
f x0 k tg ,
tg (180 )
Решение.
BC
6
0, 75.
AC
8
Ответ: - 0,75 .
f x0 k tg ,
tg (180 )
Ответ: - 3 .
AC
6
3.
BC
2

20.

№4. На рисунке изображен график функции y = f (x), касательная к
этому графику, проведенная в точке 4, проходит через начало
координат. Найдите f'(4).
6
Решение.
Если касательная проходит через начало
координат, то можно изобразить ее на
рисунке, проведя прямую через начало
координат и точку касания. В качестве
точек с целочисленными координатами,
лежащих на касательной, можно взять
начало координат и точку касания.
Дальнейшее решение очевидно:
4
f ( x0 ) tg
Ответ: 1,5.
6
1,5.
4

21.

№5. На рисунке изображен график функции y = f (x), определенной на
интервале (—8; 5). Определите количество целых точек, в которых
производная функции положительна.
Решение.
f ( x) 0, если f (x ) возрастает.
Целые решения при : х=-7; х=-6; х=-5; х=-4; х=2; х=3.
Их количество равно 6.
Ответ: 6.

22.

№6. На рисунке изображен график производной функции f(x),
определенной на интервале (-11; 3). Найдите количество точек, в
которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y =
2x -5 или совпадает с ней.
y=2
Решение.
Если касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = 2x-5 или
совпадает с ней, то ее угловой коэффициент равен 2, а значит нам нужно найти
количество точек, в которых производная функции f(x) равна 2.
Для этого на графике производной проведем горизонтальную черту,
соответствующую значению y = 2, и посчитаем количество точек графика
производной, лежащих на этой линии. В нашем случае таких точек 5.
Ответ: 5 .

23.

№7. На рисунке изображен график функции y = f (x),
определенной на интервале (-6; 8). Найдите количество точек, в
которых производная функции y = f (x) равна 0.
Решение.
f ( x0 ) 0,
если касательная,
проведенная в эту точку
имеет вид у = const.
Считаем количество точек
пересечения графика
функции с касательной.
Ответ: 7.
Теоретические сведения.
Производная функции в точке х0 равна 0 тогда и только тогда, когда
касательная к графику функции, проведенная в точке с абсциссой х0,
горизонтальна. Отсюда следует простой способ решения задачи —
приложить линейку или край листа бумаги к рисунку сверху горизонтально
и, двигая «вниз», сосчитать количество точек с горизонтальной касательной.

24.

На рисунке изображен график функции y = f (x), касательная к этому
графику, проведенная в точке х0, проходит через начало координат.
Найдите f'(х0).
Решите самостоятельно!
1
В-19;
22
3
В-29
Ответ: 2.
Ответ: 0,5.
2
4
х0= 4
х0= - 4
В-26
В-24
Ответ: 2.
Ответ: 3

25.

На рисунке изображен график функции y = f (x),
определенной на интервале (-8; 3). Определите количество целых
точек, в которых производная функции отрицательна.
Решение.
f ( x) 0, если f (x ) убывает.
Целые решения:
х=-7; х=-6; х=-2; х=-1.
Их количество равно 4.
Ответ: 4.
Теоретические сведения.
Решим эту задачу, воспользовавшись
следующим утверждением.
Производная непрерывно дифференцируемой функции на промежутке
убывания (возрастания) не положительна (не отрицательна). Значит
необходимо выделить промежутки убывания функции и сосчитать
количество целых чисел, принадлежащих этим промежуткам. Причем
производная равна нулю на концах этих промежутков, значит, нужно
брать только внутренние точки промежутков.

26.

На рисунке изображен график функции y = f (x),
определенной на интервале (a;b). Определите количество целых
точек, в которых производная функции положительна.
Решите самостоятельно!
б)
a)
Решение.
f ( x) 0, если f (x ) возрастает.
Целые решения при :
Целые решения при :
х=-2; х=-1; х=5; х=6.
х=2; х=3; х=4; х=10; х=11.
Их количество равно 4.
Их количество равно 5.
Ответ: 4.
Ответ: 5.

27.

На рисунке изображен график функции y = f (x),
определенной на интервале (a;b). Определите количество целых
точек, в которых производная функции отрицательна.
a)
б)
Решите самостоятельно!
Решение.
f ( x) 0, если f (x ) убывает.
Целые решения при :
Целые решения при :
х=2; х=7; х=8.
х=-1; х=0; х=1; х=2; х=9; х=10.
Их количество равно 3.
Их количество равно 6.
Ответ: 3.
Ответ: 6.

28.

На рисунке изображен график функции y = f (x), определенной на
интервале (-8; 3). Найдите количество точек, в которых касательная к
графику функции параллельна прямой у = 8.
Решение. Прямая у = 8 — горизонтальная, значит, если касательная к
графику функции ей параллельна, то она
тоже горизонтальна.
Следовательно, при решении этой задачи можно воспользоваться решением
задачи 2, то есть приложить линейку или край листа бумаги горизонтально
и, двигая его «вниз», сосчитать количество точек с горизонтальной
касательной.
Ответ: 5.

29.

1. Сделать опорный конспект §49-50
2. Ответить на вопросы:
– Почему признак возрастания
(убывания) называется достаточным?
– Почему условие существования
экстремума в точке называется
необходимым?
3. Объяснить «Штрихи к портрету»
ЛЕЙБНИЦА, НЬЮТОНА, ФЕРМА,
ЛАГРАНЖА

30.

дифференциальное
исчисление
Архимед
из Сиракуз
(287г.до н.э.
-212 г. до н.э.
древнегреческий
ученый
Ферма Пьер
(1601-1665)
французский
математик
интегральное
исчисление
Исаак
Ньютон
(1643-1727)
английский
учёный
Жозеф Луи
Лагранж
(1736-1813)
французский
математик и
механик
Готфрид
Лейбниц
(1646-1716),
немецкий
философ и
математик.

31.

Что выяснили?
Что сделали?
Необходи
мое
условие
1. Существует связь между свойствами функции
(монотонность, экстремумы) и значениями производной
(существование, знакопостоянство, нули).
2. Провели анализ фактов по существующей связи.
3. Провели обобщение наблюдений.
4. Познакомились с математическими «портретами».
5. Познакомились с историзмом проблемы.
6. Наибольшее практическое применение имеет обратная
связь.
Достато
чное
условие
Необходи
мое и
достаточ
ное
условие
План
1. Изучить обратную связь.
2. Научиться её применять к решению задач.

32.

Синквейн
Производная
?

33. Рефлексия Поднимите пожалуйста карточки того цвета которым Вы отдаёте предпочтение

РЕФЛЕКСИЯ
ПОДНИМИТЕ ПОЖАЛУЙСТА КАРТОЧКИ ТОГО ЦВЕТА КОТОРЫМ ВЫ
ОТДАЁТЕ ПРЕДПОЧТЕНИЕ
-В ХОДЕ УРОКАМ ПРОИЗОШЛО
ОБОГАЩЕНИЕ ЗАПАСА ЗНАНИЙ;
-МНЕ ЗАХОТЕЛОСЬ ПРОВЕСТИ
МАСТЕР-КЛАСС;
– МЕНЯ УДИВИЛО….
Оцените по 5-бальной системе работу на уроке

34.

М-мудрость
А-активность
С-счастье
Т-творчество
Е-единство
Р-результат
Дальнейших
успехов !!! СПАСИБО!