Презентация по алгебре и началам математического анализа по теме _Применение производной к исследованию функций_

1.

2.

Образовательная цель: обобщение и
систематизация знаний и навыков по теме
«Применение производной к исследованию
функций».
Развивающая цель: развитие умений в
применении знаний в конкретной ситуации,
умения работать в проблемной ситуации;
развитие умений сравнивать, обобщать,
правильно формулировать задачи и излагать
мысли; развитие самостоятельной деятельности
учащихся.
Воспитательная цель: воспитание
настойчивости в достижении цели и
заинтересованности в конечном результате труда.

3.

f ( x ) = 3x − 5 x + 2
5
3
f ( x) = 15 x 4 − 15 x 2
y
y
4
Если функция возрастает,
то производная
положительна
2
-1
0
1
x
1
0 2
-1
1
Если функция убывает,
то производная
отрицательна
−
15
4
x

4.

Возрастает: (-9;-3) и (3;6)
Убывает:
(-3;3)
Максимум:
- 3; 6
Минимум;
3

5. Тест №1 « Заполни пропуски»

Вариант 1
График четной функции симметричен относительно оси
ординат.
Функция возрастает на некотором промежутке, если f
во всех внутренних точках промежутка.
Точка х0 называется точкой максимума функции f(х), если
для всех х х0 из некоторой окрестности точки х0
выполняется неравенство f
f(х0)
Условие
=0 является необходимым условием
экстремума дифференцируемой функции f(х).
Геометрический смысл производной заключается в том,
что значение производной функции в точке равно
угловому коэффициенту касательной к графику
функции в данной точке.

6. Тест №1 « Заполни пропуски»

Вариант 2
1.График нечетной функции симметричен относительно
начала координат.
2. Функция убывает на некотором промежутке, если f
во всех внутренних точках промежутка.
3. Точка х0 называется точкой минимума функции f(х),
если для всех х х0 из некоторой окрестности точки х0
выполняется неравенство f
f(х0)
4. Для того чтобы точка х0 была точкой экстремума
функции f(х), необходимо, чтобы эта точка была
критической для данной функции.
5. Пусть функция f(х) определена в некоторой
окрестности х0 и дифференцируема в этой точке. Если
х0 – точка экстремума функции f(х), то f

7.

Алгоритм нахождения наибольших
и наименьших значений функции
Находим производную функции
Находим критические точки функции
Если критических точек на
отрезке нет, значит функция
на отрезке монотонна, и
наибольшего и наименьшего
значения функция достигает
на концах отрезка
Если критические точки на
отрезке есть, значит нужно
вычислить значения
функции
во всех критических точках
и на концах отрезка, и
выбрать
из полученных чисел
наибольшее и наименьшее

8.

f (x ) = − x + 4 x − 5 х + 8
3
Решение:
2
f (x ) = −3x + 8x − 5
2
− 3x + 8 x − 5 = 0
[-1;3]
2
х = 1 ; х = 5/3
f(-1)=18
max f(x)=f(-1)=18
f(3) = 2
[-1;3]
f(1) = 6
ответ
min f(x)=f(3)=2
f(5/3) = 55/9
[-1;3]

9.

На рисунке изображен график функции у = f(x), определенной на
интервале (-9; 8). Определите количество целых точек, в которых
производная функции положительна.
Решение: 1. f/(x) > 0, значит, функция возрастает. Найдем эти участки графика.
2. Найдем все целые точки на этих отрезках.
y
5
4
3
2
1
-9 -8 -7 -6 -5 - 4 -3 -2 -1
-1
-2
-3
-4
y = f (x)
x
1 2 3 4 5 6 7 8
Ответ: 8

10.

На рисунке изображен график функции у = f(x), определенной на
интервале (-5; 5). Определите количество целых точек, в которых
производная функции отрицательна.
Решение: 1. f/(x) < 0, значит, функция убывает. Найдем эти участки графика.
2. Найдем все целые точки на этих отрезках.
y
5
4
3
2
1
-9 -8 -7 -6 -5 - 4 -3 -2 -1
-1
-2
-3
-4
y = f (x)
x
1 2 3 4 5 6 7 8
Ответ: 5

11.

Непрерывная функция у = f(x) задана на отрезке [a;b]
На рисунке изображен ее график. В ответе укажите количество точек
графика этой функции, в которых касательная параллельна оси Ох.
y
y = f(x)
a
b
x
Ответ: 5

12.

Непрерывная функция у = f(x) задана на интервале (-6; 7).
На рисунке изображен ее график. Найдите количество точек, в которых
касательная к графику функции параллельна прямой y = 6.
y
y=6
.
y = f(x)
-6
В этой точке производная НЕ
существует!
-7
x
Ответ: 3

13.

На рисунке изображен график производной функции у =f (x), заданной
на промежутке (- 8; 8).
Найдем точки, в которых f /(x)=0 (это нули функции).
y
+
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
–
f/(x)
f(x)
-5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
0
y = f /(x)
+
+
1 2 3 4 5 6 7
–
3
7
x
x

14.

Исследуйте функцию у =f (x) на экстремум и укажите количество ее
точек минимума.
4 точки экстремума
y
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
f/(x)-8 +
-5
f(x)
4
3
2
1
y = f /(x)
-1
-2
-3
-4
-5
1 2 3 4 5 6 7
–
+
0
+ 8
–
3
x
7
x

15.

Найдите количество точек экстремума функции у =f (x)
на отрезке [– 3; 7]
y
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
f/(x) -8 +
-5
f(x)
4
3
2
1
y = f /(x)
-1
-2
-3
-4
-5
1 2 3 4 5 6 7
–
+
0
+ 8
–
3
x
7
x

16.

На рисунке изображен график функции f(x), определенной на интервале (3;10) . Найдите сумму точек экстремума функции f(x) .
-1 0 1 2 3
6 7 8 9

17.

На рисунке изображен график y=f'(x) — производной функции f(x) ,
определенной на интервале (-8:5). В какой точке отрезка
принимает наибольшее значение?
у
х
f ( x) 0 f ( x) убывает
[-3;2]

18.

На рисунке изображен график y=f'(x)
— производной функции f(x) ,
определенной на интервале (-2;20) . Найдите количество точек максимума
функции f(x) , принадлежащих отрезку [-1;18] .
f ( x ) 0
f ( x ) 0
f/(x)
f(x)
+
–
+
–
+
_
+
x
Точка максимума – точка перехода от
графика функции к
f ( x ) 0
f ( x ) 0

19.

На рисунке изображен график y=f'(x) — производной функции f(x) ,
определенной на интервале (-6;8) . Найдите промежутки возрастания функции
f(x) . В ответе укажите длину наибольшего из них.

20.

На рисунке изображен график y=f'(x) — производной функции
f(x),
определенной на интервале (-8;6). Найдите промежутки убывания
функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.