Переменный электрический ток

1.

Практическое занятие № 4 (11)
Задачи группы «А»
ПЕРЕМЕННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК
№ 2616(2)
Сборник вопросов, упражнений и задач
по курсу общей физики в системе РИТМ. Часть 2.
Стр. 179 – 192.
Перед решением задач необходимо самостоятельно
разобрать теоретические основы по рассматриваемой теме
(приведены в данной презентации)
3-й модуль 2-го семестра

2.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
Основные положения теории :
1. Установившиеся вынужденные электромагнитные колебания можно рассматривать как переменный
ток, протекающий в цепи, содержащей резистор R, конденсатор C и катушку индуктивности L.
2. Переменный ток можно считать квазистационарным, т.е. мгновенные значения тока можно считать
во всех точках цепи одинаковыми, т.к. его изменения являются медленными в сравнении со
скоростью распространения ЭМ волны (скоростью света) вдоль этой электрической цепи.
3. Для мгновенных значений квазистационарных токов выполняется закон Ома и следующие из него
правила Кирхгофа.
Рассмотрим процессы в простейших электрических цепях с переменным током :
1. Переменный ток течет через резистор R. В рамках условия квазистационарности ток
через резистор определяется законом Ома (Е(t) – внешний источник переменной ЭДС):
E (t ) Em
I
cos t I m cos t
R
R
(1)
E (t ) Em cos t
(2)
Наглядно представить соотношение между переменным током и напряжением в
цепи можно векторной диаграммой, построенной для амплитудных значений
гармонических функций тока I(t) и напряжения U(t) .
Из векторной диаграммы видно: сдвиг фаз между амплитудой тока Im , текущего
через резистор, и падением напряжения на резисторе URm , равен нулю.
Амплитуда
тока:
Im
I
Em
R
R
E(t)
URm = RIm
Im

3.

2. Переменный ток течет через катушку индуктивности L. Под действием переменной ЭДС Е(t) в
цепи течет переменный, приводящий к возникновению ЭДС самоиндукции в катушке. Закон Ома :
E (t ) ESi (t ) 0
Em cos t L
dI
0
dt
UL L
dI
Em cos t
dt
Выделим из (3) дифференциал тока dI и проинтегрируем по времени
(постоянная интегрирования равна нулю, т.к. отсутствует постоянный ток):
I
Em
E
sin t m cos t I m cos t
L
L
2
2
Из (4) получаем реактивное индуктивное
сопротивление катушки (для постоянного
тока, = 0, получаем ZL = 0 ) :
Подставим в (3) выражение амплитуды ЭДС
и получим падение напряжения на катушке:
Im
(4)
dI
Em
cos t dt
L
Em
L
L
I
E(t)
E
Z L m L
Im
(5)
Em LI m
(6)
U L LI m cos t U Lm cos t
(3)
ULm = LIm
/2
(7)
Вывод : из сравнения (4) и (7) следует, что падение напряжения на индуктивности опережает по
фазе ток, текущий через катушку, на угол = /2 , см. векторную диаграмму.
Im

4.

3. Переменный ток течет через конденсатор С . Под действием переменной ЭДС Е(t) конденсатор
непрерывно перезаряжается, в результате в цепи течет переменный ток. Напряжение ЭДС полностью
приложено к конденсатору. Пренебрегая сопротивлением проводов, закон Ома запишется в виде :
E (t ) U C
Em cos t
Найдем ток, используя
выражение для заряда (8):
Q
C
I
Q CEm cos t
(8)
dQ
CEm sin t I m cos t
dt
2
(9)
Из (9) находим реактивное емкостное сопротивление конденсатора ZC ,
которое для постоянного тока ( = 0) очень большое (ZC ) :
E
E
I m CEm m m
1 C Z C
1
ZC
C
(10)
(11)
Подстановкой (10) в (8) получим падение напряжение на конденсаторе :
UC
Q
1
Em cos t
I m cos t
C
C
(12)
U Cm
1
Im
C
C
E(t)
I
Im
/2
UCm =
1
I
C m
Вывод : из сравнения (9) и (12) следует, что ток, текущий через конденсатор, опережает по фазе
падение напряжения на конденсаторе на угол = /2 , см. векторную диаграмму.

5.

Основные формулы для решения задач
1. Реактивное сопротивление конденсатора
переменному току (C – электроемкость
конденсатора; - круговая частота) :
1
XC
C
3. Полное сопротивление переменному току
последовательной цепи, состоящей из активного
сопротивления, электроемкости и индуктивности:
1
Z R L
C
2
2. Реактивное сопротивление катушки
индуктивности переменному току
(L - индуктивность катушки):
X L L
4. Угол сдвига фазы между током и напряжением
в последовательной цепи, содержащей активное
сопротивление, электроемкость и индуктивность :
2
5. Закон Ома для переменного тока :
6. Связь между эффективными
(действующими) и амплитудными
значениями тока и напряжения :
I ЭФ I m
2 U ЭФ U m
I ЭФ
U ЭФ
Z
L 1 C
R
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ :
2
7. Мощность переменного тока :
P I ЭФU ЭФ cos
arctg
1
I mU m cos
2
Плотность меди:
Удельное сопротивление меди:
Магнитная постоянная:
Электрическая постоянная:
Скорость света в вакууме:
0 = 8,6 103 кг/м3
= 0,017 мкОм м
0 = 4 10 7 Гн/м
0 = 8,85 10 12 Ф/м
с = 3 108 м/с

6.

А1. (В.14.23) Найти полное сопротивление цепи Z и разность фаз между напряжением и током при
разных способах включения сопротивления R, емкости С и индуктивности L. Рассмотреть следующие
случаи : 1). R и С включены последовательно; 2). R и С включены параллельно; 3). R и L включены
последовательно; 4). R и L включены параллельно; 5). R, L и С включены последовательно.
1). Цепь переменного тока из последовательно соединенных резистора конденсатора С
и R. В цепи под действием переменной ЭДС Е(t) возникает переменный ток, создающий
падения напряжения на каждом из элементов цепи. Закон Ома запишется в виде :
E (t ) U R U C
E (t ) IR
Em cos t RI m cos t
Em cos t RI m cos t
Q
1
IR Idt
C
C
1
I m sin t
C
1
I m cos t
C
2
Em cos t U Rm cos t U Cm cos t
2
Угол определяет разность фаз между силой
тока и напряжением ЭДС на зажимах цепи :
Амплитуда тока :
Im
(1)
Из векторной диаграммы видно,
что вектор амплитуды ЭДС Еm равен
векторной сумме амплитуд
напряжений на элементах цепи.
Амплитуда напряжения
ЭДС – это гипотенуза
треугольника:
R 2 1 C
2
Z
R
I
E(t)
URm
0
UCm
Im
Em
2
2
Em2 U Rm
U Cm
Em2 RI m 1 C I m
2
tg
U Cm
1
U Rm
CR
Полное сопротивление цепи:
Em
I (t ) I m cos t
C
Em
2
R 2 1 C
Im
2
U Rm RI m U Cm 1 C I m
Реактивное сопротивление цепи:
X ZC
1
C

7.

2). Цепь переменного тока из параллельно соединенных резистора R и конденсатора
С. В цепи под действием переменной ЭДС Е(t) возникает переменный ток, создающий
падения напряжения на каждом из элементов цепи. Закон Ома запишется в виде :
I (t ) I R I C
I (t )
E (t ) Em cos t
E (t ) dQ E (t )
dE (t )
C
R
dt
R
dt
I m cos( t )
I
R
E(t)
Q(t ) CE (t )
Em
cos t CEm sin t
R
ICm
E
I m cos( t ) m cos t CEm cos t
R
2
I m cos( t ) I Rm cos t I Cm cos t
2
I Rm
0
I m Em
1
2
C
R2
Em
IRm
I Сm CEm
I m2 Em R CEm
Из векторной диаграммы видно, что вектор амплитуды тока
Im равен векторной сумме амплитуд тока в элементах цепи :
Амплитуда тока :
Im
E
m
R
2
Угол определяет разность фаз между током
в цепи и напряжением ЭДС на зажимах цепи :
C
tg
2
2
2
I m2 I Rm
I Cm
I Cm CEm
CR
I Rm Em R
Полное сопротивление
цепи :
Z
Em
R
Im
1 ( CR) 2

8.

3). Цепь переменного тока из последовательно соединенных резистора R и
индуктивности L. В цепи под действием ЭДС Е(t) возникает переменный ток,
создающий напряжения на каждом из элементов цепи. Закон Ома имеет вид:
L
I (t ) I m cos t
I
E (t ) ESi U R
E (t ) IR L
dI
dt
ESi L
Em cos t RI m cos t LI m sin t
Em cos t RI m cos t LI m cos t
2
Em cos t U Rm cos t U Lm cos t
2
dI
dt
R
E(t)
ULm
Em
U Rm RI m
Im
0
URm
U Lm LI m
Согласно векторной диаграмме вектор амплитуды ЭДС Еm равен сумме векторов амплитуд напряжений
на элементах цепи. Угол определяет разность фаз между током и напряжением ЭДС на зажимах цепи :
2
2
Em2 U Rm
U Lm
RI m L I m
2
Амплитуда тока из (3) :
Im
Em
R 2 L
2
2
tg
Полное сопротивление цепи :
Z
Em
2
R 2 L
Im
U Lm L
U Rm
R
Реактивное сопротивление цепи :
X Z L L

9.

4). Цепь переменного тока из последовательно соединенных резистора R, конденсатора С и катушки
индуктивности L . В цепи под действием переменной ЭДС Е(t) возникает переменный ток, создающий
падения напряжения на каждом из элементов цепи. Закон Ома запишется в виде :
E (t ) ESi U R U C
E (t ) IR L
dI Q
dI 1
IR L Idt
dt C
dt C
I (t ) I m cos t
C
1
Em cos t RI m cos t LI m sin t
I m sin t
C
L
1
Em cos t RI m cos t LI m cos t
I m cos t
2 C
2
E(t)
UCm
Em cos t U Rm cos t U Lm cos t U Cm cos t
2
2
Амплитуда тока :
Im
Амплитуда напряжения ЭДС –
это гипотенуза прямоугольного
треугольника:
Полное сопротивление цепи :
Em
R 2 L 1 C
2
Z
Em
2
R 2 L 1 C
Im
ULm
Em
0
Из векторной диаграммы
что вектор амплитуды ЭДС Еm равен векторной
E (t ) Eвидно,
m cos t
сумме амплитуд падений напряжений на элементах цепи. Угол определяет
разность фаз между силой тока в цепи и напряжением ЭДС на зажимах цепи :
U U Cm L 1 C
tg Lm
U Rm
R
R
UCm
Im
URm
Em2 RI m L 1 C I m
2
2
2
Em2 U Rm
U Lm UCm
2
Реактивное сопротивление цепи :
X Z L Z C L
1
C

10.

А2. (В.14.24) Конденсатор емкостью С = 1 мкФ и резистор с сопротивлением R = 3 кОм включены в цепь
переменного тока с частотой = 50 Гц. Найти полное сопротивление цепи, если конденсатор и резистор
включены : 1) последовательно; 2) параллельно.
Дано:
С = 1 мкФ
R = 3 кОм
= 50 Гц
Z1 - ? Z2 - ?
C
1). Цепь из последовательно соединенных R и С . Закон Ома :
Q
1
I (t ) I m cos t
E (t ) U R U C IR IR Idt
C
C
Используем метод векторных
1
диаграмм, где вектор - это
Em cos t RI m cos t
I m sin t
C
амплитуда напряжения с
учетом начальной фазы :
1
Em cos t RI m cos t
I m cos t
2
2
(1)
C
2
Em2 RI m 1 C I m
Сопротивление
цепи согласно (1):
Z1
Em
2
R 2 1 2 C
Im
Z1
3 10
3 2
E (t ) dQ E (t )
dE (t )
C
R
dt
R
dt
I m cos( t )
Em
cos t CEm sin t
R
I m cos( t )
Em
cos t CEm cos t
R
2
URm
Im
Em
UCm
I
R
Z
2
3000
6
Im
0
I Em R CEm
2
ICm
C
E(t)
Векторная диаграмма:
Z
0
2
E (t ) Em cos t
2
m
I
E(t)
1
4,38 103 (Ом )
6
2 50 10
2). Цепь из параллельно соединенных R и С . Закон Ома :
I (t ) I R I C
R
1 (2 50 10 3 10 )
3 2
Em
IRm
Em
R
Im
1 ( CR) 2
2,18 103 (Ом )

11.

А3. (В.14.25) В цепь переменного тока напряжением U = 220 В и частотой = 50 Гц последовательно
включены емкости, емкость С = 35,4 мкФ, сопротивление R = 100 Ом и индуктивность L = 0,7 Гн. Найти ток I в
цепи и падение напряжения на емкости UС , сопротивлении UR и индуктивности UL .
Дано :
U = 220 В
= 50 Гц
С = 35,4 мкФ
R = 100 Ом
L = 0,7 Гн
I - ? UС - ?
UR - ? UL - ?
Закон Ома:
E (t ) ESi U R U C
I (t ) I m cos t
dI Q
dI 1
E (t ) IR L IR L Idt
dt C
dt C
Em cos t RI m cos t LI m sin t
(1)
Используем метод векторных диаграмм, где вектор это амплитуда напряжения с учетом начальной фазы :
Сопротивление
цепи согласно (3):
1
Z R 2 2 L
2 C
Ток в цепи и напряжение на
элементах цепи согласно (3):
U Cm
Im
2
L
UCm
ULm
Em
0
(2)
2
Im
URm
UCm
Em2 RI m L 1 C I m
2
R
E(t)
1
I m sin t
C
1
Em cos t RI m cos t LI m cos t
I m cos t
2 C
2
C
(3)
2
1
100 2 2 50 0,7
164 (Ом )
2 50 35,4 10 6
Em 220
1,34 ( А)
Z 164
Im
1,34
121 ( B)
2 C 2 50 35,4 10 6
U Rm RI m 100 1,34 134 ( B)
U Lm 2 LI m 2 50 0,7 1,34 295 ( B)

12.

А4. (В.14.26) Индуктивность L = 22,6 мГн и сопротивление R включены параллельно в цепь переменного тока
с частотой = 50 Гц. Найти сопротивление R , если сдвиг фаз между напряжением и током равен = 60 .
Дано :
L = 22,6 мГн
= 50 Гц
= 60
R-?
Запишем закон Ома и воспользуемся выражением ЭДС
самоиндукции :
I
ILm
R
I (t ) I R I L
E (t ) 1
I (t )
E (t )dt
R
L
I m cos( t )
dI
U L ESi E (t ) L
dt
E (t ) Em cos t
Em
E
cos t m sin t
R
L
I m cos( t )
I m cos( t ) I Rm cos t I Lm cos t
2
I Rm
Em
R
Амплитуда общего тока цепи согласно векторной диаграмме –
это гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами IRm и ILm:
Угол определяет разность фаз между
общим током в цепи и напряжением
ЭДС на зажимах цепи :
tg
I Lm
R
I Rm L
R 2 50 22,6 10 3 tg
Im
L
E(t)
Em
0
IRm
(1)
Em
E
cos t m cos t
R
L
2
I Lm
(2)
Em
L
I m Еm 1 R 1 L
2
2
R L tg 2 L tg
12,3 (Ом )
3

13.

А5. (В.14.27) Активное сопротивление R и индуктивность L соединены параллельно и включены в цепь
переменного тока напряжением Е = 127 В и частотой = 50 Гц. Найти сопротивление R и индуктивность L,
если известно, что цепь поглощает мощность Р = 404 Вт и сдвиг фаз между напряжением и током = 60 .
Дано :
Е = 127 В
= 50 Гц
Р = 404 Вт
= 60
R-?L-?
Поглощаемая
цепью мощность:
Из (1) найдем ток:
P IЕ cos
Im
1
I m Еm cos
2
tg
Амплитуда общего тока цепи по векторной диаграмме
– это гипотенуза треугольника с катетами IRm и ILm:
Из (1) и (4) следует :
После подстановки (5) в (3) получаем :
Из (3) следует :
L
(1)
2Р
2Р
Еm cos Е cos
Из решения предыдущей задачи для такой же цепи
(1) следуют два уравнения, из которых найдем R и L :
Im
Р
2
Еm Е cos
I
R 2 L
LR
2
(2)
ILm
R
Im
L
E(t)
0
I Lm
R
I Rm L
R L tg
I m Еm 1 R 1 L
2
L
2
(4)
Е 2 R cos
РR 2 Е 4 cos 2
Е 2 127 2
R
40 (Ом )
Р
404
R
R
40
0,074 ( Гн)
tg 2 tg 2 50 tg 3
(5)
Em
IRm
(3)

14.

А6. (В.14.28) В цепь переменного тока напряжением Е = 220 В включены последовательно емкость С,
сопротивление R и индуктивность L . Найти падение напряжения UR на сопротивлении, если известно, что
падение напряжения на конденсаторе UC = 2UR , а на напряжение индуктивности равно UL = 3UR .
Дано:
Е = 220 В
UC = 2UR
UL = 3UR
UR - ?
Закон
Ома:
E (t ) ESi U R U C E (t ) IR L dI Q IR L dI 1 Idt
dt C
dt C
Подставим :
I (t ) I m cos t
C
Em cos t RI m cos t LI m sin t
1
I m sin t
C
L
Em cos t U Rm cos t U Lm cos t U Cm cos t
2
2
UCm
(2)
ULm
Из векторной диаграммы видно, что вектор амплитуды ЭДС Еm
равен векторной сумме амплитуд напряжений на элементах цепи:
E 2 2U R2
2
UR
E 220
156 ( B)
2
2
2
Em2 2U Rm
Em
0
UCm
2
2
2
Em2 U Rm
U Lm UCm U Rm
3U Rm 2U Rm 2U Rm
R
E(t)
1
Em cos t RI m cos t LI m cos t
I m cos t
2 C
2
2
(1)
URm
Im