Функция y = tg x её свойства и график

1.

Функция
y = tg x
её свойства и график
Автор: Брызгалова Наталья Юрьевна
Преподаватель Архангельского техникума
строительства и экономики

2.

Цель:
Изучить функцию y = tg x
Задачи:
1. Изучить свойства функции у = tg x.
2. Уметь применять свойства функции у = tg x и
читать график.
3. Формировать практические навыки построения
графика функции у = tg x на основе изученного
теоретического материала.
4. Закрепить понятия с помощью выполнения
заданий.

3.

Функция y=tgx определена при x ≠ π/2+πn, n∈Z,
является нечётной и периодической с периодом Т=π
Поэтому достаточно построить её график на
промежутке [0;π/2).
Затем, отобразив её симметрично относительно
начала координат, получим график на
интервале (−π/2;π/2).
Используя периодичность, строим график
функции y=tg x на всей области
определения.

4.

Рассмотрим поведение функции и отметим
важнейшие точки на промежутке [0; /2]
Мы получили график функции на заданном промежутке.

5.

График y=tgx на
промежутке (−π/2;π/2).
Ось тангенсов на
тригонометрическом
круге

6.

График функции y = tg x
График функции y=tg x называют тангенсоидой.
Главной ветвью графика функции y=tg x обычно
называют ветвь, заключённую в полосе (−π/2;π/2).
у

7.

Свойства функции y = tg x
1. Область определения — множество R всех действительных
чисел. D(y) = (-∞; + ∞), кроме x ≠ π/2+πn, n∈Z.
2. Множество значений Е(у) = R
3. Функция периодическая с периодом T= π
4. Функция нечётная tg (-x) = - tg x
(график симметричен относительно начала координат).
5. Функция не ограничена и сверху, и снизу.
6. Функция y=tg x принимает:
- значение, равное 0, при x=πn, n∈Z;
7. Функция не имеет максимального и минимального
значения

8.

8. Промежутки, на которых функция принимает
положительные значения при
x ∈ (πn; π/2+πn), n ∈ Z
Промежутки, на которых функция принимает отрицательные
значения при
x ∈ (- π/2+πn; πn), n ∈ Z
9. Функция возрастает на x ∈ [−π/2 + πn; π/2+ πn], n ∈ Z

9.

Решение задач
Задача №1
Решить уравнение
tgt 3
Решение
На промежутке
;
2 2
функция монотонно
возрастает, значит, на этом
промежутке значение
3
достигается при
единственном
значении аргумента
3
С учетом периодичности получаем
t
3
n, n Z

10.

Задача №2
Найти все корни уравнения tgx 1
принадлежащие отрезку x 2
Решение
Построим графики функций
y tgx и
y 1
Графики пересекаются в
трёх точках
x1
4
; х2
5
3
; х3
6
4

11.

Задача №3
Постройте график функций а) у = tg 2х; б) у = tgx;
Решение
а)
б)

12.

в) у = tg x + 2; г) у = tg (-x).
Решение
в)
г)

13.

д) y tgx tgx
д)
е)
е) y 2tg x
4

14.

Задача №4
Установить чётность или нечётность функции
x
5 cos x
3
Решение
y ( x) 3tg 4 2 x 2tg 2
x
y ( x) 3tg 4 ( 2 x) 2tg 2 5 cos( x)
3
2
x
3 tg 2 x 2 tg 5 cos x
3
x
3tg 4 2 x 2tg 2 5 cos x
3
4
Так как выполнено равенство y(-x) = у(х), то
функция у(х) по определению четная.

15.

Задания для самостоятельного
решения
1) Постройте графики функций
а) у = tg(x+ π/3);
б) у = 3-tgx;
в) у = tg (x + π/2)
г) у = tg (x – π/3)
д) у=tgx+5

16.

2) Определить чётность или нечётность функции:
x
а ) y ( x) 2tg 4 x 3tg sin x
2
7 cos x
б ) y ( x) 3
tg x 1
2
3
x4 1
в) y ( x)
tgx 1
г ) y ( x) 2 x tg x 7
5
3

17.

3) Решить графически уравнения:
1
а ) tgx
3
1
б ) tgx
3
в ) tgx 1
г ) tgx 3

18.

4) Используя свойства функции у = tg x, сравните числа:
а) tg 2,6 и tg 2.61
б ) tg 2.7 и tg 2.75
в ) tg 2 и tg3
г ) tg1 и tg1,5
5) Используя свойства функции у = tg x, сравните числа:
а) tg 25 ; tg 65 ; tg15
б ) tg 1 ; tg 2 ; tg 3
в) tg 5 ; tg 3 ; tg3

19.

Заключение.
Мы рассмотрели график функции
y = tg x ,
изучили особенности ее поведения,
использовали их и свойства функции при
решении задач.