Цифровое описание структуры токов и напряжений

1.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
ЭНЕРГЕТИКИ
Цифровое описание структуры токов и
напряжений

2.

Структурные уравнения
Традиционно исходное описание переходных процессов получают в результате использования:
- компонентных уравнений (закон Ома);
- уравнений, составляемые по первому закону Кирхгофа;
- уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа.
Далее эти уравнения преобразуют к нужному виду, исходя из поставленной задачи.
Известно, что компонентные уравнения описывают свойства элементов расчетной схемы.
Уравнения, составленные в соответствии с первым и вторым законами Кирхгофа, описываю
соединение элементов расчетной схемы. Эти уравнения описывают структуру расчетной схемы
относительно токов узлов и напряжений контуров и по сути являются структурными.
Помимо этих законов для электрической цепи известен закон сохранения энергии :
u
к
iк 0
(к )
Вид этого уравнения сохраняется при замене расчетной схемы. Изменяется только число
слагаемых.

3.

Структурные уравнения
Рассмотри уже знакомую схему и ее орграф:
Система уравнений по 1-му закону Кирхгофа:
i4 i5 i6
Ai ( ) 0 i2 i1 i5 i6
i i i
1
6
3
Система уравнений по 2-му закону Кирхгофа:
u1 u2 u3
Au ( ) 0 u5 u2 u4
u u u u
2
3
4
6

4.

Закон сохранения энергии в теории цепей
В соответствии с законом сохранения энергии будем иметь:
u1 i1 u2 i2 u3 i3 u4 i4 u5 i5 u6 i6 0
Подставим в это уравнение i2 , i3 и i4 из предыдущего слайда:
u1 i1 u2 ( i1 i5 i6 ) u3 ( i1 i6 ) u4 ( i5 i6 ) u5 i5 u6 i6 0
Раскроем скобки, перегруппируем слагаемые и вынесем токи i1 , i5 и i6 :
u1 i1 u2 i1 u2 i5 u2 i6 u3 i1 u3 i6 u4 i5 u4 i6 u5 i5 u6 i6 0
(u1 u2 u3 ) i1 ( u2 u4 u5 ) i5 ( u2 u3 u4 u6 ) i6 0
Уравнение будет выполнятся либо при условии i1 = i5 = i6 =0, либо: u1 u2 u3 0
Au ( ) 0
u2 u4 u5 0
u u u u 0
2 3 4 6
Таким образом:
Ai ( ) 0
uk ik 0 Au ( ) 0
k
Au ( ) 0
uk ik 0 Ai ( ) 0
k
Следовательно 1 и 2 законы Кирхгофа не являются независимыми.
Каждая система является описанием структуры токов и напряжений.

5.

Выбор способа цифрового описания структуры токов и напряжений
Ai ( ) 0
Au ( ) 0
Ai ( К ) 0
Au ( К ) 0
К - совокупность СОЧ, которые описывают полную К- совокупность СОЧ, которые описывают
полную совокупность независимых контуров
совокупность независимых сечений (звезд)
Оценка трудоемкости
получения
К
и
К
К [ 7 8 9][ 7 10][ 8 11][ 9 12][ 10 4 1][ 11 6 3][ 12 2 5][ 1 3 5 13][ 13 14][ 14 15]

6.

Цифровое описание расчётной схемы с ИТ
Граф данной схемы является несвязным и содержит две компоненты.
Для выделения компонент орграфа следует использовать его избыточное описание в виде совокупности
СОЧ для всех вершин :
К [ 2 3][ 2 5][ 5 4][ 3 4][ 6 1][ 1 6]
и последовательно два алгоритма: - алгоритм непосредственных связей;
- алгоритм определения числа компонент связности.

7.

Алгоритм определения
непосредственных связей
Исходные данные:
К [ 2 3]1[ 2 5]2 [ 5 4]3
[ 3 4]4 [ 6 1]5 [ 1 6]6

8.

Алгоритм определения
непосредственных связей
Исходные данные:
К [ 2 3]1[ 2 5]2 [ 5 4]3
[ 3 4]4 [ 6 1]5 [ 1 6]6
Конечные данные:
1 {1,2,4}
2 {2,1,3}
3 {3,2,4}
4 {4,1,3}
5 {5,6}
6 {6,5}

9.

Алгоритм определения числа
компонент связности
Исходные данные:
1 {1,2,4}; 2 {2,1,3}; 3 {3,2,4};
4 {4,1,3}; 5 {5,6}; 6 {6,5}

10.

Алгоритм определения числа
компонент связности
Исходные данные:
1 {1, 2, 4}; 2 {2,1,3}; 3 {3, 2, 4};
4 {4,1,3}; 5 {5, 6}; 6 {6,5}
Конечные данные:
r 2
1 {1,2,4,3} 2 {5,6}
Имеем две компоненты и порядковые номера СОЧ
исходной совокупности К , которые дают
избыточные описания каждой компоненты.
Для получения неизбыточного описания:
- для первой компоненты не будем использовать
описание узла 4;
- для второй компоненты не будем использовать
описание узла 6.
К [ 2 3]1[ 2 5]2 [ 5 4]3[ 6 1]5

11.

Цифровое описание структуры токов и напряжений
расчётной схемы с ИТ
Полученное ранее цифровое описание не учитывает соотношение
между токами обмоток трансформатора.
Получим цифровое описание этого соотношения:
i5 k5,6 i6 i5 k5,6 i6 0
Ai ( ИТ ) 0; ИТ [ 5 k5,6 6]
ИТ К
ИТ
ИТ [ 2 3][ 2 5][ 5 4][ 6 1][ 5 k5,6 6]
Неуспешная попытка графической интерпретации
последовательности СОЧ ИТ !
uaк ka к1am ua
iaк kaк am iam
m

12.

Цифровое описание структуры токов и напряжений
основных ветвей
Ветви расчётной схемы, соответствующие обмоткам трансформатора – вспомогательные, остальные ветви
расчетной схемы - основные.
Чтобы получить цифровое описание структуры токов и напряжений основных ветвей О , следует
исключить из цифрового описания вспомогательные ветви, сохраняя при этом соотношение между токами
и напряжениями.
Эта операция обеспечивается вычислением алгебраической производной совокупности СОЧ ИТ по
множеству идентификаторов ветвей ИТ:
ИТ [ 2 3][ 2 5][ 5 4][ 6 1][ 5 k5,6 6] , 8 {5, 6}
an 5 , ИТ [ 2 3][ 2 5][ 2 5 5 4][ 6 1][ 2 5 5 k5,6 6]
ИТ 5 [ 2 3][ 2 4][ 6 1][ 2 k5,6 6]
an 6 , ИТ 5 [ 2 3][ 2 4][ k5,6 6 k5,6 1][ k5,6 6 k5,6 1 2 k5,6 6]
О ИТ 8 [ 2 3][ 2 4][ k5,6 1 2]
Неуспешная попытка графической интерпретации последовательности COЧ О !