Электричество и магнетизм. Лекция 15. Энергия электро-магнитного поля

1.

Электричество и магнетизм
Лекция 15
Энергия электро-магнитного поля.
Уравнения Максвелла
Движение заряженных частиц в
электромагнитном поле
08 декабря 2021 года
Лектор: доцент НИЯУ МИФИ,
Ольчак Андрей Станиславович

2.

Энергия магнитного и
электромагнитного поля

3.

Энергия магнитного поля
Энергия магнитного поля изолированного
контура с током
s IR IR s dq Idt
dAстор dq IR s Idt
d
I Rdt s Idt d Q
Idt
dt
d Q Id d Q dWмагн
2
dWмагн Id ILdI
d LI
2
B
2
Wмагн
LI 2 I 2
2
2
2L

4.

Энергия магнитного поля
Энергия магнитного поля индуктивно
связанных контуров с током
1 11 12
2 22 21
dW = I1dФ1 + I2dФ2 =
= I1(dФ11 + dФ12 ) + I2(dФ22 + dФ21 )
I1 L1dI1 L12 dI 2 I 2 L2dI 2 L12dI1
L1 I12
L2 I 22
d
L12 I1dI 2 I 2 dI1 d
2
2
2
1 1
2
2 2
LI
LI
W
L12 I1 I 2
2
2
1 N N
W Lik I i I k
2 i 1 k 1
Lii Li

5.

Энергия магнитного поля
Энергия магнитного поля соленоида
W = LI2/2 =μ0μn2VI2/2 = wV = > w = μ0μn2I2/2
Плотность энергии магнитного поля
w = μ0μn2I2/2 ; B = μ0μnI => w = B2/2μ0μ = μ0μH2/2
Плотность энергии электро-магнитного поля
w = B2/2μ0μ + D2/2ε0ε = μ0μH2/2 + ε0εE2/2 =
= BH/2 + DE/2
Последняя формула верна даже анизотропном веществе

6.

Энергия магнитного поля
Плотность магнитной энергии: вывод с помощью векторного
потенциала магнитного поля. Для самостоятельной проработки.
I I
W
B dS B A
2
2S
I
I
A dl
W A dS
2S
2
1
Id l jdV W A j dV
2 Vпров
B
Интеграл от плотности тока по объему проводника равен интегралу по всему
объйму пространства V, поскольку везде за пределами проводника плотность
тока равна нулю.
Vпров V V
1
W A j dV
2V

7.

Энергия магнитного поля
Векторная алгебра магнитного поля.
A H H A A H H B A j
A j H B A H
1
1
W H B dV A H dV
2
2
V
V
V
H B dV 1
2
W wdV
2
1
0
3
r
r
V
H
B
0
w
B H
w
2
B2
2 0

8.

Энергия электро-магнитного поля
Плотность энергии электромагнитного поля
w wэл wмаг
E D B H
2
2
Энергия электромагнитного поля
W wdV
V
V
E D dV B H dV
2
V
2

9.

Уравнения Дж.К. Макселла
James Clerk Maxwell,
1831- 1879

10.

Полевые уравнения
Какие уравнения, имеющие локальный характер, мы уже знаем?
Следствия теорем Гаусса…:
div D = стор div B = 0
… и Стокса
rot E = 0
rot Н = jпров
Открытие электро-магнитной индукции заставило поправить
уравнение для rot Е :
rot Е = -дB/дt
Физический смысл поправки: переменное магнитное поле
порождает вихревое электрическое поле, причем без
непосредственного участия чторонних зарядов и токов.
.Вопрос: а не умеет ли переменное электрическое поле делать
примерно то-же самое, а именно: порождать поле магнитное?

11.

Гипотеза Максвелла
Уравнения для роторов магнитного и электрического полей:
H jпров
По аналогии, Максвелл предположил,
что изменение поля электрического
должно порождать поле магнитное:
B
E
t
D
H jпров
t
Слагаемое дD/дt имеет размерность плотности тока, Максвелл назвал его the bias
current/ bias (en) = смещение , но также и уклон, и (прил.) тенденциозный,
необъективный, косой, наклонный и т.п. (для сравнения, pol: prąd polarizacji).
Поляризация = смещение зарядов => ток смещения (рус.(
ГЛАВНОЕ: Переменное электрическое поле порождает
поле магнитное, причем как в среде, так и в пустоте!

12.

Уравнения Максвелла
В итоге Максвелл сформулировал систему уравнений,
исчерпывающим образом описывающих электрическое и
магнитное поля (а вернее – единое электро-магнитное поле.
Уравнения Максвелла
в локальной форме
B
E
t
D
D
H jпров
t
B 0
стор
James Clerk
Maxwell

13.

Уравнения Максвелла
Интегральная форма уравнений Максвелла
d
E d l B dS
dt S
D dS стор dV
V
d
H d l jпров dS D dS
dt S
S
B dS 0
James Clerk
Maxwell

14.

Уравнения Максвелла
Если
0 - уравнения разделяются и поля – электрическое
и магнитное – кажутся независимыми
t
Электростатика
E 0
D стор
Магнитостатика
H jпров
B 0
Джеймс Клерк
Ма́ксвелл, 1831- 1879

15.

Уравнения Максвелла
Условия применимости уравнений Максвелла в среде
Диэлектрики
D 0E
Магнетики
B 0H
Проводники
j E
1. По сравнению м характерными размерами атомов и атомными
временами, поля Е и В меняются во времени и
пространстве медленно
.
2. Параметры , , могут зависеть от r, но не от t и не от E и B
3. В поле отсутствуют постоянные магниты, ферромагнетики,
сегнетоэлектрики и т.п..
Условия на границе раздела сред.
E1 E2
D2 n D1n
B1n B2 n
H 2 H1 I пров l

16.

Уравнения Максвелла
Свойства уравнений Максвелла
1. Уравнения выполняются во всех инерциальных системах отсчёта.
(являются релятивистски инвариантными).
2. Уравнения линейные –> отражение принципа суперпозиции для
магнитных и электрических полей.
3.Уравнения содержат все известные законы электродинамики: закон
Кулона, закон Био-Савара-Лапласа, уравнение непрерывности и т.п.
4. Уравнения не симмметричны относительно векторов E и B.
5. Из уравнений Максвелла следует возможность существования и
распространения электромагнитных волн в вакууме.

17.

Уравнения Максвелла
Уравнения Максвелла в среде без зарядов и токов
div D = div Е = 0
rot E = -дB/дt
div B = 0 rot Н = rot B/μ0μ = -дD/дt = -ε0 εдE/дt =>
rot B = - μ0με0 ε дE/дt =>
-д(rot B)/дt = μ0με0 ε д2E/дt2 = rot rot E = ∆E =>
д2E/дt2 = с2∆E => д2B/дt2 = с2∆B
Решение: волна (например, E = Е0 cos(ω(t-x/c)) ) способная
существовать и распространяться со скоростью и в среде, и в
пустоте, причем со скоростью света!!
с = 1/ (μ0με0 ε )1/2 = с0/(με )1/2 =~ с0/√ε
Подробнее об ЭМ-волнах – в следующем семестре

18.

Курс общей физики НИЯУ МИФИ
Спасибо за внимание!
Следующая лекция
15.12